Anilla ensartada en un aro giratorio

Anilla ensartada en un aro giratorio

Una pequeña anilla de masa m está ensartada en un aro vertical de radio R que puede girar alrededor del eje OZ (este sistema equivale a un péndulo simple formado por una masa m unida a una varilla rígida de longitud R, unida por su otro extremo a un punto fijo O mediante una articulación esférica). La masa está sometida a la acción del peso.

1. Considere, en primer lugar, el movimiento en un plano vertical. Determine la ecuación de movimiento para el ángulo θ que la anilla forma con la vertical. ¿Qué puntos de equilibrio existen? ¿Son estables o inestables?
2. Considere el caso de que el aro gira con velocidad angular constante ${\dot {\phi }}=\Omega$ alrededor del eje vertical. ¿Cuál debe ser la relación entre Ω y el ángulo con la vertical, θ, para que la anilla ni suba ni baje en el aro, describiendo una circunferencia horizontal? ¿Puede conseguirse un movimiento circular sea cual sea Ω?
3. Suponga ahora el movimiento general, en el cual puede cambiar tanto θ como el ángulo ϕ, de giro alrededor del eje vertical. A partir de la 2ª ley de Newton, obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos. Esto puede hacerse de diferentes maneras:
   1. Empleando un sistema de referencia en rotación alrededor del eje vertical, y empleando las fuerzas ficticias necesarias.
   2. Considerando una composición de movimientos mediante tres sistemas de referencia: uno fijo “1”, uno intermedio “2” que gira alrededor del eje vertical un ángulo ϕ y uno ligado “3” que gira respecto a un eje horizontal un ángulo θ.
4. Considerando el caso general, con movimiento en las dos coordenadas ϕ y θ, suponga que con un motor se fuerza a una rotación constante ${\dot {\phi }}=\Omega$. En ese caso, ¿cómo queda la ecuación para θ? ¿Qué puntos de equilibrio hay? ¿Son estables o inestables?

Solución