Enunciado
Se tiene un sistema formado por un recipiente cilíndrico (sólido “1”) con fondo pero sin tapa, de radio y altura 2R. En el interior de este recipiente se encuentra una esfera maciza homogénea (“sólido 2”) de masa m y radio R. Esta esfera se mueve de forma que rueda sin deslizar en todo momento sobre el fondo y la pared. El centro de la bola se mueve en todo momento con rapidez constante alrededor del eje vertical.
Tomamos un tercer sistema de referencia intermedio “0”, que gira alrededor del eje =OZ_0 de manera que el centro de la esfera siempre se encuentra en el plano . Con ayuda de este sistema determine y exprese:
- Las velocidades angulares , y
- La posición de los tres ejes instantáneos de rotación (puede ayudarse de la figura)
- Las aceleraciones angulares , y
- Las aceleraciones lineales de los puntos G (centro de la esfera), A (contacto con el fondo) y B (contacto con la pared) de la esfera 2 respecto al sistema de referencia fijo 1.
Velocidades angulares
Arrastre, {01}
El movimiento del sistema “0&” respecto al 1 es una rotación alrededor del eje . La velocidad angular es de la forma
El valor lo obtenemos de que conocemos la velocidad de G
La posición de G en el sistema 0 es, en todo momento,
Por ello, G es un punto fijo en el movimiento relativo.
por lo que
Esto nos da
y
Absoluta, {21}
Para la absoluta operamos de manera similar. En este caso observamos que puesto que en el punto A y en el B no hay deslizamiento
y, por tanto, el EIR debe pasar por esos dos puntos. La velocidad angular es entonces de la forma
Aplicamos ahora que
De donde
Relativa, {20}
Una vez que tenemos la absoluta y la de arrastre, la relativa es inmediata
lo que da
Ejes instantáneos de rotación
- El EIR de arrastre {01} pasa por el origen y lleva la dirección de .
- El EIR absoluto {21} pasa por los puntos A y B.
- El EIR relativo {20} pasa por G (punto fijo en el movimiento {20}) y lleva la dirección de .
Los tres ejes se cortan en el punto que es un punto fijo en los tres movimientos.
Aceleraciones angulares
Las aceleraciones angulares de arrastre y relativa son nulas, por ser constantes las velocidades angulares en ambos movimientos
La velocidad angular absoluta {21} no es constante, aunque lo parezca
ya que los vectores de la base 0 son dependientes del tiempo en el sistema 1.
Aplicamos la ley de composición de velocidades angulares
lo que nos da
Aceleraciones lineales