Enunciado
Se tiene un sistema formado por un recipiente cilíndrico (sólido “1”) con fondo pero sin tapa, de radio y altura 2R. En el interior de este recipiente se encuentra una esfera maciza homogénea (“sólido 2”) de masa m y radio R. Esta esfera se mueve de forma que rueda sin deslizar en todo momento sobre el fondo y la pared. El centro de la bola se mueve en todo momento con rapidez constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0}
alrededor del eje vertical.
Tomamos un tercer sistema de referencia intermedio “0”, que gira alrededor del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OZ}_1}
=OZ_0 de manera que el centro de la esfera siempre se encuentra en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OX}_0Z_0}
. Con ayuda de este sistema determine y exprese:
- Las velocidades angulares Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}}
, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}}
- La posición de los tres ejes instantáneos de rotación (puede ayudarse de la figura)
- Las aceleraciones angulares Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}}
, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}}
- Las aceleraciones lineales de los puntos G (centro de la esfera), A (contacto con el fondo) y B (contacto con la pared) de la esfera 2 respecto al sistema de referencia fijo 1.
Velocidades angulares
Arrastre, {01}
El movimiento del sistema “0&” respecto al 1 es una rotación alrededor del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1=OZ_0}
. La velocidad angular es de la forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\vec{k}_0}
El valor lo obtenemos de que conocemos la velocidad de G
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^G_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}}
La posición de G en el sistema 0 es, en todo momento,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OG}=R\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0}
Por ello, G es un punto fijo en el movimiento relativo.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^G_{21}=\overbrace{\vec{v}^G_{20}}^{=\vec{0}}+\vec{v}^G_{01}}
por lo que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^G_{01}= v_0\vec{\jmath}_0}
Esto nos da
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{01}=\dfrac{v_0}{R}\qquad\qquad \vec{\omega}_{01}=\frac{v_0}{R}\vec{k}_0}
Absoluta, {21}
Para la absoluta operamos de manera similar. En este caso observamos que puesto que en el punto A y en el B no hay deslizamiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{21}=\vec{v}^B_{21}=\vec{0}}
y, por tanto, el EIR debe pasar por esos dos puntos. La velocidad angular es entonces de la forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\Omega\left(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)}
Aplicamos ahora que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0\vec{\jmath}_0=\vec{v}^G_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG}=\Omega\left(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)\times \left(R\vec{k}_0\right)=-\Omega R\vec{\jmath}_0}
De donde
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega=-\frac{v_0}{R}\qquad\qquad \vec{\omega}_{21}=-\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)}
Relativa, {20}
Una vez que tenemos la absoluta y la de arrastre, la relativa es inmediata
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}}
lo que da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=-\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right) - \frac{v_0}{R}\vec{k}_0 = -\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+2\vec{k}_0\right)}
Ejes instantáneos de rotación
- El EIR de arrastre {01} pasa por el origen y lleva la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_0}
.
- El EIR absoluto {21} pasa por los puntos A y B.
- El EIR relativo {20} pasa por G (punto fijo en el movimiento {20}) y lleva la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(\vec{\imath}_0+2\vec{k}_0\right)}
.
Los tres ejes se cortan en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q(0,-R)}
que es un punto fijo en los tres movimientos.
Aceleraciones angulares
Las aceleraciones angulares de arrastre y relativa son nulas, por ser constantes las velocidades angulares en ambos movimientos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\frac{v_0}{R}\vec{k}_1\qquad\qquad\vec{\omega}_{20}=-\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+2\vec{k}_0\right)}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}=\vec{\alpha}_{20}=\vec{0}}
La velocidad angular absoluta {21} no es constante, aunque lo parezca
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=-\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)}
ya que los vectores de la base 0 son dependientes del tiempo en el sistema 1.
Aplicamos la ley de composición de velocidades angulares
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}+\vec{\omega}_{20}}
lo que nos da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}= \left(\frac{v_0}{R}\vec{k}_0\right)\times \left(-\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+2\vec{k}_0\right)\right)= -\frac{v_0^2}{R^2}\vec{\jmath}_0}
Aceleraciones lineales
