Peonza rodante oblicua (CMR)

Una peonza (sólido "3") está formada por una varilla de longitud $\ell =20\,\mathrm {cm}$ ensartada en un disco de radio $R=15\,\mathrm {cm}$. Esta peonza se mueve de forma que el extremo O de la varilla está inmóvil mientras el centro G del disco describe un movimiento circular uniforme alrededor del eje $OZ_{1}$ con rapidez $v_{0}=48\,\mathrm {cm/s}$. El disco rueda sin deslizar sobre el plano $OX_{1}Y_{1}$, de manera que en todo instante la velocidad del punto de contacto A es nula. Para este movimiento, determine:

1. La velocidad angular del sólido en el movimiento {31}.
2. La velocidad del punto B, diametralmente opuesto a A, y del punto P situado en $25{\vec {k}}\,\mathrm {cm}$, considerado como punto del sólido.
3. La aceleración angular del sólido.
4. La aceleración de los puntos A, G, B, O y P, considerados como puntos del sólido.

 

Sugerencia: Introduzca un sólido intermedio “3” que simplemente gira en torno al eje $OZ_{1}$, de manera que el eje $OX_{2}$ siempre pasa por el O y por el punto de contacto con el suelo.

Cálculo de la velocidad angular

Arrastre, {21}

El movimiento {21} es una rotación alrededor del eje $OZ_{1}$ y, por tanto, su velocidad angular es de la forma

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}{\vec {k}}_{2}$

El valor de $\omega _{21}$ lo obtenemos de que G es un punto fijo del sistema 2, siendo su posición en este sistema, en cm,

${\overrightarrow {OG}}=16{\vec {\imath }}_{2}+12{\vec {k}}_{2}$

y su velocidad, en cm/s

${\vec {v}}_{21}^{G}=48{\vec {\jmath }}_{2}$

Debe cumplirse que

${\vec {v}}_{21}^{G}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OG}}$

Sustituimos

$48{\vec {\jmath }}_{2}=\left(\omega _{21}{\vec {k}}_{2}\right)\times \left(16{\vec {\imath }}_{2}+12{\vec {k}}_{2}\right)=16\omega _{21}{\vec {\jmath }}_{2}$

con lo que, en rad/s,

$\omega _{21}={\frac {48}{16}}=3\qquad \qquad {\vec {\omega }}_{21}=3{\vec {k}}_{2}$

Relativa, {32}

La velocidad angular relativa es la que tiene la peonza alrededor de su eje. La podemos escribir entonces como

${\vec {\omega }}_{32}=\omega _{32}{\vec {u}}$

siendo ${\vec {u}}$ el unitario en la dirección del eje de la peonza. En este caso

${\vec {\omega }}_{32}=\omega _{32}\left({\frac {4}{5}}{\vec {\imath }}_{2}+{\frac {3}{5}}{\vec {k}}_{2}\right)$

Para hallar esta velocidad debemos usar el hecho de que la peonza rueda sin deslizar, de manera que la velocidad del punto de contacto de la peonza con el plano es nula en el movimiento absoluto

${\vec {0}}={\vec {v}}_{31}^{A}={\vec {v}}_{32}^{A}+{\vec {v}}_{21}^{A}$

La velocidad de arrastre la calculamos, en cm/s,

${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OA}}=(3{\vec {k}}_{2})\times (25{\vec {\imath }}_{2})=75{\vec {\jmath }}_{2}$

La relativa se calcula de manera similar

${\vec {v}}_{32}^{A}={\vec {\omega }}_{32}\times {\overrightarrow {OA}}=\left(\omega _{32}\left({\frac {4}{5}}{\vec {\imath }}_{2}+{\frac {3}{5}}{\vec {k}}_{2}\right)\right)\times (25{\vec {\imath }}_{2})=15\omega _{32}{\vec {\jmath }}_{2}$

Puesto que la velocidad angular absoluta debe ser nula, debe cumplirse

$15\omega _{32}{\vec {\jmath }}_{2}=-75{\vec {\jmath }}_{2}\qquad \Rightarrow \qquad \omega _{32}=-5$

Y, en forma vectorial,

${\vec {\omega }}_{32}=-5\left({\frac {4}{5}}{\vec {\imath }}_{2}+{\frac {3}{5}}{\vec {k}}_{2}\right)=-4{\vec {\imath }}_{2}-3{\vec {k}}_{2}$

Absoluta, {31}

Una vez que tenemos las velocidades angulares relativa y de arrastre, la absoluta es inmediata:

${\vec {\omega }}_{31}={\vec {\omega }}_{32}+{\vec {\omega }}_{21}=\left(-4{\vec {\imath }}_{2}-3{\vec {k}}_{2}\right)+\left(3{\vec {k}}_{2}\right)=-4{\vec {\imath }}_{2}$

Procedimiento alternativo

Podemos obtener la velocidad angular absoluta directamente observando que si el movimiento {21} es una rotación cuyo eje pasa por O y el movimiento {21} es otra rotación cuyo eje también pasa por O, la composición de ambas es otra rotación cuyo eje también pasa por OA

${\vec {v}}_{31}^{O}={\vec {v}}_{32}^{O}+{\vec {v}}_{21}^{O}={\vec {0}}+{\vec {0}}={\vec {0}}$

Puesto que la velocidad de A en el movimiento {31} es también nula, el eje instantáneo de rotación debe pasar por O y A, con lo que la velocidad angular es de la forma

${\vec {\omega }}_{31}=\omega _{31}{\vec {\imath }}_{2}$

La velocidad que se da en el problema para B vale tanto para el movimiento {21} como para el {31}

${\vec {v}}_{31}^{G}=48{\vec {\jmath }}_{2}$

Debe cumplirse que

${\vec {v}}_{31}^{G}={\vec {\omega }}_{31}\times {\overrightarrow {OG}}$

Sustituimos

$48{\vec {\jmath }}_{2}=\left(\omega _{31}{\vec {\imath }}_{2}\right)\times \left(16{\vec {\imath }}_{2}+12{\vec {k}}_{2}\right)=-12\omega _{21}{\vec {\jmath }}_{2}$

con lo que, en rad/s,

$\omega _{31}=-{\frac {48}{12}}=-4\qquad \qquad {\vec {\omega }}_{31}=-4{\vec {\imath }}_{2}$

Velocidad de B y de P

Velocidad de B

La velocidad de B en el movimiento absoluto es inmediata una vez que tenemos la velocidad angular de este movimiento

${\vec {v}}_{31}^{B}={\vec {\omega }}_{31}\times {\overrightarrow {OB}}$

siendo la posición de B

${\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {OG}}-{\overrightarrow {GA}}=\left(16{\vec {\imath }}_{2}+12{\vec {k}}_{2}\right)-\left(9{\vec {\imath }}_{2}-12{\vec {k}}_{2}\right)=7{\vec {\imath }}_{2}+24{\vec {k}}_{2}$

Esto nos da

${\vec {v}}_{31}^{B}=(-4{\vec {\imath }}_{2})\times (7{\vec {\imath }}_{2}+24{\vec {k}}_{2})=96{\vec {\jmath }}_{2}$

A este resultado se puede llegar de forma más sencilla observando que G es el punto medio entre A y B y por tanto

${\vec {v}}_{31}^{G}={\frac {{\vec {v}}_{31}^{A}+{\vec {v}}_{31}^{B}}{2}}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {v}}_{31}^{B}=2{\vec {v}}_{31}^{G}-{\vec {v}}_{31}^{A}$

pero, dado que la velocidad de A es nula

${\vec {v}}_{31}^{B}=2{\vec {v}}_{31}^{G}=96{\vec {\jmath }}_{2}$

También se puede hacer observando que B está al doble de distancia que G del eje de giro y por tanto su velocidad será el doble.

Velocidad de P

De manera similar se halla la velocidad de P

${\vec {v}}_{31}^{B}=(-4{\vec {\imath }}_{2})\times (25{\vec {k}}_{2})=96{\vec {\jmath }}_{2}$

Aceleración angular

La aceleración angular del movimiento absoluto la obtenemos mediante la ley de composición

${\vec {\alpha }}_{31}={\vec {\alpha }}_{32}+{\vec {\alpha }}_{21}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {\omega }}_{32}$

La aceleración angular de arrastre es nula, por ser constante esta velocidad angular

${\vec {\alpha }}_{21}=\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}(3{\vec {k}}_{1})\right|_{1}={\vec {0}}$

y lo mismo ocurre con la relativa

${\vec {\alpha }}_{21}=\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}(-4{\vec {\imath }}_{2}-3{\vec {k}}_{2})\right|_{2}={\vec {0}}$

Podría parecer que la velocidad angular absoluta

${\vec {\omega }}_{31}=-4{\vec {\imath }}_{2}$

es también constante, pero no lo es porque está en la base “2” y queremos hallar la aceleración respecto al sistema “1”. En este sistema el vector ${\vec {\imath }}_{2}$ no es constante.

El tercer término de la fórmula de composición vale

${\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {\omega }}_{32}=(3{\vec {k}}_{2})\times (-4{\vec {\imath }}_{2})=-12{\vec {\jmath }}_{2}$

y, por tanto,

${\vec {\alpha }}_{31}={\vec {\alpha }}_{32}+{\vec {\alpha }}_{21}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {\omega }}_{32}=-12{\vec {\jmath }}_{2}$

Obsérvese que la aceleración angular no es paralela a la aceleración angular. No va en la dirección del eje instantáneo de rotación.

Aceleraciones

Para las aceleraciones podemos emplear la fórmula de Coriolis o directamente

${\vec {a}}_{31}^{A}={\vec {\alpha }}_{31}\times {\overrightarrow {OA}}+{\vec {\omega }}_{31}\times \left({\vec {\omega }}_{31}\times {\overrightarrow {OA}}\right)$

Así, para el punto A tenemos, en cm/s²

${\vec {a}}_{31}^{A}=\left(-12{\vec {\jmath }}_{2}\right)\times \left(25{\vec {\imath }}_{2}\right)+(-4{\vec {\imath }}_{2})\times \left((-4{\vec {\imath }}_{2})\times \left(25{\vec {\imath }}_{2}\right)\right)=300{\vec {k}}_{2}$

Aunque el punto está en reposo instantáneo, su aceleración no es unula, sino vertical y hacia arriba.

Para G, el centro del disco,

${\vec {a}}_{31}^{G}=\left(-12{\vec {\jmath }}_{2}\right)\times \left(16{\vec {\imath }}_{2}+12{\vec {k}}_{2}\right)+(-4{\vec {\imath }}_{2})\times \left((-4{\vec {\imath }}_{2})\times \left(16{\vec {\imath }}_{2}+12{\vec {k}}_{2}\right)\right)=-144{\vec {\imath }}_{2}$

Resulta una aceleración horizontal hacia el centro de la circunferencia que describe.

Para el punto B

${\vec {a}}_{31}^{B}=\left(-12{\vec {\jmath }}_{2}\right)\times \left(7{\vec {\imath }}_{2}+24{\vec {k}}_{2}\right)+(-4{\vec {\imath }}_{2})\times \left((-4{\vec {\imath }}_{2})\times \left(7{\vec {\imath }}_{2}+24{\vec {k}}_{2}\right)\right)=-288{\vec {\imath }}_{2}-300{\vec {k}}_{2}$

Como con las velocidades resulta que la aceleración para G es la media de las de A y B.

Para el punto P

${\vec {a}}_{31}^{B}=\left(-12{\vec {\jmath }}_{2}\right)\times \left(25{\vec {k}}_{2}\right)+(-4{\vec {\imath }}_{2})\times \left((-4{\vec {\imath }}_{2})\times \left(25{\vec {k}}_{2}\right)\right)=-300{\vec {\imath }}_{2}-400{\vec {k}}_{2}$