Peonza rodante oblicua (CMR)

Una peonza (sólido "3") está formada por una varilla de longitud $\ell =20\,\mathrm {cm}$ ensartada en un disco de radio $R=15\,\mathrm {cm}$. Esta peonza se mueve de forma que el extremo O de la varilla está inmóvil mientras el centro G del disco describe un movimiento circular uniforme alrededor del eje $OZ_{1}$ con rapidez $v_{0}=48\,\mathrm {cm/s}$. El disco rueda sin deslizar sobre el plano $OX_{1}Y_{1}$, de manera que en todo instante la velocidad del punto de contacto A es nula. Para este movimiento, determine:

1. La velocidad angular del sólido en el movimiento {31}.
2. La velocidad del punto B, diametralmente opuesto a A, y del punto P situado en $25{\vec {k}}\,\mathrm {cm}$, considerado como punto del sólido.
3. La aceleración angular del sólido.
4. La aceleración de los puntos A, G, B, O y P, considerados como puntos del sólido.

 

Sugerencia: Introduzca un sólido intermedio “3” que simplemente gira en torno al eje $OZ_{1}$, de manera que el eje $OX_{2}$ siempre pasa por el O y por el punto de contacto con el suelo.

Cálculo de la velocidad angular

Arrastre, {21}

El movimiento {21} es una rotación alrededor del eje $OZ_{1}$ y, por tanto, su velocidad angular es de la forma

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}{\vec {k}}_{2}$

El valor de $\omega _{21}$ lo obtenemos de que G es un punto fijo del sistema 2, siendo su posición en este sistema, en cm,

${\overrightarrow {OG}}=16{\vec {\imath }}_{2}+12{\vec {k}}_{2}$

y su velocidad, en cm/s

${\vec {v}}_{21}^{G}=48{\vec {\jmath }}_{2}$

Debe cumplirse que

${\vec {v}}_{21}^{G}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OG}}$

Sustituimos

$48{\vec {\jmath }}_{2}=\left(\omega _{21}{\vec {k}}_{2}\right)\times \left(16{\vec {\imath }}_{2}+12{\vec {k}}_{2}\right)=16\omega _{21}{\vec {\jmath }}_{2}$

con lo que, en rad/s,

$\omega _{21}={\frac {48}{16}}=3\qquad \qquad {\vec {\omega }}_{21}=3{\vec {k}}_{2}$

Relativa, {32}

La velocidad angular relativa es la que tiene la peonza alrededor de su eje. La podemos escribir entonces como

${\vec {\omega }}_{32}=\omega _{32}{\vec {u}}$

siendo ${\vec {u}}$ el unitario en la dirección del eje de la peonza. En este caso

${\vec {\omega }}_{32}=\omega _{32}\left({\frac {4}{5}}{\vec {\imath }}_{2}+{\frac {3}{5}}{\vec {k}}_{2}\right)$

Para hallar esta velocidad debemos usar el hecho de que la peonza rueda sin deslizar, de manera que la velocidad del punto de contacto de la peonza con el plano es nula en el movimiento absoluto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{0}=\vec{v}^A_{31} = \vec{v}^A_{32}+\vec{v}^A_{21}}

La velocidad de arrastre la calculamos, en cm/s,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA}=(3\vec{k}_2)\times(25\vec{\imath}_2)=75\vec{\jmath}_2}

La relativa se calcula de manera similar

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{32}=\vec{\omega}_{32}\times \overrightarrow{OA}=\left(\omega_{32}\left(\frac{4}{5}\vec{\imath}_2+\frac{3}{5}\vec{k}_2\right)\right)\times(25\vec{\imath}_2) = 15\omega_{32}\vec{\jmath}_2}

Puesto que la velocidad angular absoluta debe ser nula, debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 15\omega_{32}\vec{\jmath}_2 = -75\vec{\jmath}_2 \qquad\Rightarrow\qquad \omega_{32}=-5}

Y, en forma vectorial,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{32}=-5\left(\frac{4}{5}\vec{\imath}_2+\frac{3}{5}\vec{k}_2\right)=-4\vec{\imath}_2-3\vec{k}_2}

Absoluta, {31}

Una vez que tenemos las velocidades angulares relativa y de arrastre, la absoluta es inmediata:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{31}=\vec{\omega}_{32}+\vec{\omega}_{21}=\left(-4\vec{\imath}_2-3\vec{k}_2\right)+\left(3\vec{k}_2\right)=-4\vec{\imath}_2}

Procedimiento alternativo

Podemos obtener la velocidad angular absoluta directamente observando que si el movimiento {21} es una rotación cuyo eje pasa por O y el movimiento {21} es otra rotación cuyo eje también pasa por O, la composición de ambas es otra rotación cuyo eje también pasa por OA

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{31}=\vec{v}^O_{32}+\vec{v}^O_{21}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}}

Puesto que la velocidad de A en el movimiento {31} es también nula, el eje instantáneo de rotación debe pasar por O y A, con lo que la velocidad angular es de la forma

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La velocidad que se da en el problema para B vale tanto para el movimiento {21} como para el {31}

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Debe cumplirse que

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Sustituimos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 48\vec{\jmath}_2 = \left(\omega_{31}\vec{\imath}_2\right)\times\left(16\vec{\imath}_2+12\vec{k}_2\right)=-12\omega_{21}\vec{\jmath}_2}

con lo que, en rad/s,

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Velocidad de B y de P

Velocidad de B

La velocidad de B en el movimiento absoluto es inmediata una vez que tenemos la velocidad angular de este movimiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{31}=\vec{\omega}_{31} \times \overrightarrow{OB}}

siendo la posición de B

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{GA}= \left(16\vec{\imath}_2+12\vec{k}_2\right)-\left(9\vec{\imath}_2-12\vec{k}_2\right)=7\vec{\imath}_2+24\vec{k}_2}

Esto nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{31}= (-4\vec{\imath}_2)\times(7\vec{\imath}_2+24\vec{k}_2) = 96\vec{\jmath}_2}

A este resultado se puede llegar de forma más sencilla observando que G es el punto medio entre A y B y por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^G_{31}= \frac{\vec{v}^A_{31}+\vec{v}^B_{31}}{2} \qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^B_{31}=2\vec{v}^G_{31}-\vec{v}^A_{31}}

pero, dado que la velocidad de A es nula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{31}=2\vec{v}^G_{31}=96\vec{\jmath}_2}

También se puede hacer observando que B está al doble de distancia que G del eje de giro y por tanto su velocidad será el doble.

Velocidad de P

De manera similar se halla la velocidad de P

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{31}= (-4\vec{\imath}_2)\times(25\vec{k}_2) = 100\vec{\jmath}_2}