Enunciado
Una barra homogénea de 1kg de masa y 1m de longitud está suspendida del techo por dos soportes muy ligeros, uno de ellos está articulado a un punto A, situado a 20cm de un extremo de la barra y el otro está articulado sin rozamiento en el otro extremo O.
- Determine la fuerza que ejerce cada soporte en el equilibrio.
- En un momento dado, se rompe el soporte en A. Justo tras el corte, halle:
- La aceleración lineal del centro de masas de la barra, G.
- La aceleración angular de la barra
- La fuerza que realiza el soporte en O. ¿Cuánto ha aumentado o disminuido respecto a la situación de equilibrio?
- Suponga que la articulación en O es un par de revolución, de forma que solo puede moverse en el plano OXZ
- Obtenga las ecuacions de movimiento para el ángulo que forma con la vertical
- Halle las frecuencia de las pequeñas oscilaciones que realiza cuando se suelta desde una posición próxima a la vertical.
- Para el caso del enunciado, que se suelta desde la posición horizontal, calcule la fuerza que ejerce el soporte en O para cada ángulo θ
- Suponga ahora que la articulación en O es una rótula, de forma que la barra puede tanto variar su ángulo θ con la vertical como el ángulo ϕ alrededor de OZ.
- Determine las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos.
- Halle dos constantes de movimiento no triviales.
- Con ayuda de las constantes anteriores, halle una ecuación de movimiento para θ que no incluya a ϕ
- Calcule qué valor debe tener la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}}
para la que la barra gire en torno a OZ manteniendo constante su ángulo θ con la vertical.
Equilibrio horizontal
En lo que sigue emplearemos varios sistemas de referencia. Tomamos como sistema fijo uno en el que el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1}
es el vertical hacia arriba, el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_1}
es el horizontal a lo largo de la barra y el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1}
el ortogonal a ambos según la regla de la mano derecha, es decir, dirigido hacia el observador.
En el estado de equilibrio, la barra está sometida a tres fuerzas:
- Su peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}=-mg\vec{k}_1}
.
- La reacción en O, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_O}
.
- La reacción en A, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_O}
.
En principio, las dos fuerzas de reacción pueden tener cualquier dirección, pero es fácil ver que deben ser verticales, como el peso.
La condición de equilibrio de la barra la da el que el conjunto de fuerzas forme un sistema nulo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{M}_O=\vec{0}}
Como centro de reducción podemos elegir el que queramos pero, dado que el punto O va a ser fijo en lo que sigue, es mejor elegirlo ya.
Separando por componentes las fuerzas obtenemos las relaciones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcl}x&:&\qquad F_{Ax}+F_{Ox}&=&0\\ y&:&\qquad F_{Ay}+F_{Oy}&=&0\\ z&:&\qquad -mg+F_{Az}+F_{Oz}&=&0 \end{array}\right.}
y para los momentos respecto a OXZ
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{0}=\vec{M}_O=\overbrace{\overrightarrow{OO}}^{=\vec{0}}\times \vec{F}_O+\overrightarrow{OG}\times(m\vec{g})+\overrightarrow{OA}\times\vec{F}_A}
siendo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{b}{2}\vec{\jmath}_1\qquad\qquad \overrightarrow{OA}=\left(\frac{b}{2}+d\right)\vec{\jmath}_1}
Vemos que este centro de reducción nos permite ignorar la fuerza en O, que se calcula posteriormente a partir del equilibrio de fuerzas.
Esto nos da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OG}\times(m\vec{g})=\left(\frac{b}{2}\vec{\jmath}_1\right)\times (-mg\vec{k}_1)=-\frac{mgb}{2}\vec{\imath}_1}
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}\times\vec{F}_A=\left(\frac{b}{2}+d\right)\vec{\jmath}_1\times (F_{Ax}\vec{\imath}_1+F_{Ay}\vec{\jmath}_1+F_{Az}\vec{k}_1)=\left(\frac{b}{2}+d\right)(F_{Az}\vec{\imath}_1-F_{Ax}\vec{k}_1)}
como el momento resultante debe anularse, debe ser
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{mgb}{2}+\left(\frac{b}{2}+d\right)F_{Az}=0\qquad\rightarrow\qquad F_{Az}=mg\frac{b}{b+2d}}
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{Ax}=0\,}
Esta ecuación no nos permite hallar las componentes de la fuerza según el eje OY, pero en ausencia de acciones externas, no hay razón para que no sean nulas.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{Ay}=0\,}
Por el equilibrio de fuerzas obtenemos la fuerza en O
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{Ox}=F_{Oy}=0\qquad\qquad F_{Oz}=mg-F_{Az}=mg\frac{2d}{b+d}}
Estas fuerzas de reacción cumplen la ley de la palanca, ya que el producto de cada una por su distancia al CM da el mismo valor.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{Az}d=F_{Oz}\frac{b}{2}}
Corte del soporte
Una vez que se corta el soporte, el sistema deja de estar en equilibrio. Sobre las barras actúan dos fuerzas, siendo la de O diferente a la que había justo tras el corte.
La dinámica de la barra viene gobernada por el teorema de la cantidad de movimiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{F}=m\vec{g}+\vec{F}_O}
y por el teorema del momento cinético
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}\vec{L}_0}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{M}_0=\overrightarrow{OG}\times(m\vec{g})}
De nuevo la elección de O como centro de reducción simplifica notablemente los cálculos.
En este caso, el peso provoca un par
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_O=\overrightarrow{OG}\times(m\vec{g})=\left(\frac{b}{2}\vec{\jmath}_1\right)\times (-mg\vec{k}_1)=-\frac{mgb}{2}\vec{\imath}_1}
que provoca un giro en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\omega\vec{\imath}_1}
donde esta cantidad ω será negativa ya que la barra va a descender.
El eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1}
es un eje principal de inercia en este movimiento, por estar la barra confinada al plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0}
. El momento de inercia respecto a este eje (que será un momento principal de inercia) vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{xx}=\frac{1}{3}mb^2}
de forma que el momento cinético de la barra es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O=I_{xx}\omega\vec{\imath}_1=\frac{1}{3}mb^2\omega\vec{\imath}_1}
siendo su derivada respecto al tiempo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}\vec{L}_0}{\mathrm{d}t}\right|_1=\frac{1}{3}mb^2\alpha\vec{\imath}_1}
Igualando esto al momento del peso queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{3}mb^2\alpha=-\frac{mgb}{2}\qquad\Rightarrow\qquad\vec{\alpha}=-\frac{3g}{2b}\vec{\imath}}
La aceleración del CM la obtenemos a partir de la expresión del campo de velocidades teniendo en cuenta que inicialmente la velocidad angular es nula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_G=\overbrace{\vec{a}_O}^{=\vec{0}}+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{OG}+\overbrace{\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{OG}))}^{=\vec{0}}=-\frac{3g}{2b}\vec{\imath}_1\times\left(\frac{b}{2}\vec{\jmath}_1\right)=-\frac{3}{4}g\vec{k}_1}
y esto nos permite hallar la fuerza que realiza la articulación de OA}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_O=m\vec{a}_G-m\vec{g}=\frac{1}{4}mg\vec{k}_1}
es decir, tira hacia arriba con 1/4 del peso.
La variación en la fuerza que ejerce este soporte por romper el otro es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta F_O = mg \left(\frac{1}{4}-\frac{2d}{b+2d}\right)\vec{k}_1=\frac{b-6d}{4(b+2d)}\vec{k}_1}
Oscilaciones verticales
Ecuación de movimiento
Cuando la barra sigue su descenso se siguen aplicando las ecuaciones anteriores, pero el momento del peso va cambiando ya que la distancia de O a la recta soporte depende de θ
En el sistema fijo, la posición del CM para cada ángulo con la vertical es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{b}{2}S\vec{\jmath}_1-\frac{b}{2}C\vec{k}_1}
donde hemos usado las abreviaturas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C=\cos(\theta)\qquad\qquad S=\mathrm{sen}(\theta)}
siendo el momento del peso
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_O=\overrightarrow{OG}\times(m\vec{g})=-\frac{mgb}{2}S\vec{\imath}_1}
Puesto que la rotación se produce en torno al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1}
se siguen cumpliendo las expresiones para el momento cinético
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O=I_{xx}\omega\vec{\imath}_1=\frac{1}{3}mb^2\omega\vec{\imath}_1=\frac{1}{3}mb^2\dot{\theta}\vec{\imath}_1}
y para su derivada
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}\vec{L}_0}{\mathrm{d}t}\right|_1=\frac{1}{3}mb^2\alpha\vec{\imath}_1=\frac{1}{3}mb^2\ddot{\theta}\vec{\imath}_1}
Igualando esta derivada al momento del peso queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{3}mb^2\ddot{\theta}=-\frac{mgb}{2}S\qquad\Rightarrow\qquad \ddot{\theta}=-\frac{3g}{2b}S}
Pequeñas oscilaciones
Si el péndulo está cerca de la vertical, puede emplearse la aproximación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\ll 1\qquad\Rightarrow\qquad S=\mathrm{sen}(\theta)\simeq \theta}
lo que reduce la ecuación de movimiento a
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta}=-\frac{3g}{2b}\theta}
Esta es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega = \sqrt{\frac{3g}{2b}}}
Fuerza en el soporte
Como en el caso horizontal se cumple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_O=m(\vec{a}_G-\vec{g})}
pero ahora la aceleración del CM incluye un término de aceleración normal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{OG})=-\frac{b\dot{\theta}^2}{2}(S\vec{\jmath}_1-C\vec{k}_1)}
y otro de aceleración tangencial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}\times\overrightarrow{OG}=-\frac{b\ddot{\theta}}{2}(C\vec{\jmath}_1+S\vec{k}_1)}
de manera que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_G=\frac{b}{2}\left((\ddot{\theta}C-\dot{\theta}^2S)\vec{\jmath}_1+(\ddot{\theta}C+\dot{\theta}^2S)\vec{k}_1\right)}
Siendo la reacción en O, por componentes,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcl}x&:&\qquad F_{Ox}&=&0 \\ y&:&\qquad F_{Oy}&=&\dfrac{mb}{2}(\ddot{\theta}C-\dot{\theta}^2S) \\ y&:&\qquad F_{Oz}&=&\dfrac{mb}{2}(\ddot{\theta}S+\dot{\theta}^2C)+mg \end{array} \right.}
Ahora bien, este resultado está en función de θ y de sus derivadas, no solo de θ por lo que aun no es el resultado definitivo. Debemos poner las derivadas en función del ángulo. Para la segunda disponemos de la ecuación de movimiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta}=-\frac{3g}{2b}S}
Para la primera derivada podemos emplear la conservación de la energía mecánica o, lo que es equivalente, integrar esta ecuación. La integración no es inmediata, pero es sencilla. Si multiplicamos por
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}\ddot{\theta}=-\frac{3g}{2b}\dot{\theta}S}
donde cada miembro cumple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}\ddot{\theta}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}\dot{\theta}^2\right)}
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{3g}{2b}\dot{\theta}S= \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{3g}{2b}C\right)}
Por tanto llegamos a la ley de conservación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}\dot{\theta}^2-\frac{3g}{2b}C\right)=0\qquad\Rightarrow\qquad \frac{1}{2}\dot{\theta}^2-\frac{3g}{2b}C=\mathrm{cte.}}
El valor de la constante sale de las condiciones iniciales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (t=0)\qquad\qquad \theta=0\qquad\dot{\theta}=0\qquad\Rightarrow\qquad \frac{1}{2}\dot{\theta}^2-\frac{3g}{2b}C=0}
De aquí despejamos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}^2=\frac{3g}{b}C}
Tenemos por tanto que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta}=-\frac{3g}{2b}S\qquad\qquad \dot{\theta}^2=\frac{3g}{b}C}
Sustituimos en la expresión de la fuerza de reacción
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcl}x&:&\qquad F_{Ox}&=&0 \\ y&:&\qquad F_{Oy}&=&-\dfrac{9mg}{4}SC \\ y&:&\qquad F_{Oz}&=&\dfrac{mg}{4}(1+9C^2) \end{array} \right.}
Vemos que la fuerza vertical va de 1/4 del peso en la posición horizontal a 5/2 del peso cuando pasa por la vertical. La fuerza horizontal, en cambio, es nula en estas dos posiciones y tiene un máximo cuando pasa por 45°, en que vale 9/8 del peso.
Movimiento tridimensional
Sistemas de referencia
Cuando consideramos los dos grados de libertad posibles el problema es máx complicado y se hace engorroso si solo se emplea el sistema de referencia fijo. Por ello, realizaremos el análisis completo empleando tres sistemas de referencia:
- El sistema fijo 1, con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1}
vertical
- El sistema ligado 2, en el que la barra va en la dirección del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_2}
negativo
- Un sistema intermedio 0, que está girado un ángulo ϕ en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1=OZ_0}
de manera que la barra se encuentre en todo momento en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_0Z_0}
De esta forma obtendremos una solución que se puede expresar en términos más simples y de la cual podemos hallar, como casos particulares, as que acabamos de obtener.
La relación entre las bases de estos sistemas de referencia es, del fijo al intermedio
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rclcrcl} \vec{\imath}_0&=&\cos(\phi)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\phi)\vec{\jmath}_1&\qquad&\vec{\imath}_1&=&\cos(\phi)\vec{\imath}_0-\mathrm{sen}(\phi)\vec{\jmath}_0\\ \vec{\jmath}_0&=&-\mathrm{sen}(\phi)\vec{\imath}_1+\cos(\phi)\vec{\jmath}_1&\qquad&\vec{\jmath}_1&=&\mathrm{sen}(\phi)\vec{\imath}_0+\cos(\phi)\vec{\jmath}_0\\ \vec{k}_0&=&\vec{k}_1&\qquad&\vec{k}_1&=&\vec{k}_0 \end{array}}
siendo la velocidad y aceleraciones angulares de este movimiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\dot{\phi}\vec{k}_1=\dot{\phi}\vec{k}_0\qquad\qquad\vec{\alpha}_{01}=\ddot{\phi}\vec{k}_1=\ddot{\phi}\vec{k}_0}
La relación entre el sistema intermedio y el ligado al sólido la dan las relaciones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rclcrcl} \vec{\imath}_2&=&\vec{\imath}_0&\qquad&\vec{\imath}_0&=&\vec{\imath}_2\\ \vec{\jmath}_2&=&\cos(\theta)\vec{\jmath}_0+\mathrm{sen}(\theta)\vec{k}_0&\qquad&\vec{\jmath}_0&=&\cos(\theta)\vec{\jmath}_2-\mathrm{sen}(\theta)\vec{k}_2\\ \vec{k}_2&=&-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_0+\cos(\theta)\vec{k}_0&\qquad&\vec{k}_0&=&\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_2+\cos(\theta)\vec{k}_2 \end{array}}
siendo la velocidad y aceleraciones angulares del movimiento {20}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\dot{\theta}\vec{\imath}_0=\dot{\theta}\vec{\imath}_2\qquad\qquad\vec{\alpha}_{20}=\ddot{\theta}\vec{\imath}_0=\ddot{\theta}\vec{\imath}_0}
Teorema del momento cinético
De nuevo, la forma más directa de llegar a las ecuaciones de movimiento es mediante el teorema del momento cinético, empleando como centro de reducción el punto fijo O. Respecto a este punto se cumple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_1 =\vec{M}_O=\overrightarrow{OG}\times(m\vec{g})}
El momento cinético posee una expresión sencilla en el sistema 2, ya que en este los ejes cartesianos son ejes principales. Se cumple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{XX}=I_{YY}=I_0=\frac{1}{3}mb^2\qquad\qquad I_{ZZ}=0}
Por tanto, en este sistema
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O=I_0(\omega_X\vec{\imath}_2+\omega_Y\vec{\jmath}_2)}
Las componentes de la velocidad angular en la base 2 las obtenemos mediante la composición de velocidades angulares
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\vec{\imath}_2+\dot{\phi}\vec{k}_0=\dot{\theta}\vec{\imath}_2+\dot{\phi}(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_2+\cos(\theta)\vec{k}_2)}
por lo que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}\omega_X&=&\dot{\theta}\\ \omega_Y&=&\dot{\phi}S\\\omega_Z&=&\dot{\phi}C\end{array}\right.}
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O=I_0(\dot{\theta}\vec{\imath}_2+\dot{\phi}S\vec{\jmath}_2)}
A la hora de derivar esta expresión debemos tener en cuenta que los vectores de la base dependen del tiempo, por lo que debemos emplear la fórmula de Poisson
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_2+\vec{\omega}_{21}\times\vec{L}_O= I_0\dot{\omega}_X\vec{\imath}_2+I_0\dot{\omega}_Y\vec{\jmath}_2+\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_2 & \vec{\jmath}_2 &\vec{k}_2 \\ \omega_X & \omega_Y & \omega_Z \\ I_0\Omega_X & I_0\omega_Y & 0 \end{matrix}\right|}
Separando por componentes e igualando al momento de las fuerzas queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcl}x:&\quad& I_0\dot{\omega}_X-I_0\omega_Z\omega_Y & = & M_{OX}\\ y:&\quad& I_0\dot{\omega}_Y+I_0\omega_Z\omega_X & = & M_{OY}\\z:&\quad&0&=&M_{OZ}\end{array}\right.}
En el segundo miembro aparecen las componentes del momento de las fuerzas (el peso, en este caso), expresadas en la base 2.
La posición del CM en esta base es simplemente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OG}=-\frac{b}{2}\vec{k}_2}
mientras que el peso se escribe
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}=-mg\vec{k}_0=-mg(S\vec{\jmath}_2+C\vec{k}_2)}
lo que nos da un momento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_O=\overrightarrow{OG}\times(m\vec{g})=-\frac{mgb}{2}S\vec{\imath}_2}
y llegamos a las ecuaciones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcl}x:&\quad& \dot{\omega}_X-\omega_Z\omega_Y & = & -\dfrac{3g}{2b}S\\ y:&\quad& \dot{\omega}_Y+\omega_Z\omega_X & = & 0\\z:&\quad&0&=&0\end{array}\right.}
Si ahora sustituimos las componentes de la velocidad angular y sus derivadas llegamos a
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta}-\dot{\phi}^2SC = -\dfrac{3g}{2b}S}
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\phi}S+2\dot{\phi}\dot{\theta}C = 0}
Estas son las ecuaciones que gobiernan la orientación de la varilla. Son ecuaciones no lineales cuya solución completa requiere el uso de ordenador.
Como caso particular vemos que si la varilla oscila en un plano vertical inmóvil (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}=0}
) la primera ecuación se reduce a la que ya obtvimos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\dot{\phi}=0)\qquad\qquad \ddot{\theta}-\dot{\phi}^2SC = -\dfrac{3g}{2b}S}
Teorema de la cantidad de movimiento
Como en el caso del movimiento plano, se cumple que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_O+m\vec{g}=m\vec{a}_G}
Esta ecuación nos permite calcular la fuerza ejercida sobre el soporte una vez que hemos determinado el movimiento del CM.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_O=m\left(\vec{a}_G-\vec{g}\right)}
Constantes de movimiento
En este sistema tenemos dos constantes de movimiento no triviales. Las podemos calcular integrando las ecuaciones anteriores o mediante análisis de las magnitudes físicas. Antes empleamos el primer camino, ahora usaremos el segundo.
Componente vertical del momento cinético
La única fuerza que produce momento respecto del punto O, que tiene una dirección puramente vertical. Esto implica que su momento es puramente horizontal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}=-mg\vec{k}_1\qquad\Rightarrow\qquad \vec{M}_O\perp \vec{k}_1}
y por tanto la componente del momento cinético en dicha dirección es constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{0z_1}=\vec{L}_O\cdot\vec{k}_1=\mathrm{cte}.}
Se trata de expresar ahora este resultado en función de las variables del sistema. Según hemos dicho, el momento cinético tiene la expresión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O=I_0\left(\omega_X\vec{\imath}_2+\omega_Y\vec{\jmath}_2\right)}
y por tanto, la cantidad que es constante es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{Oz_1}=I_0\left(\omega_X\vec{\imath}_2\cdot{k}_1+\omega_Y\vec{\jmath}_2\cdot\vec{k}_1\right)}
Para los productos escalares usamos las relaciones entre las bases que enunciamos antes
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_2\cdot\vec{k}_1=\vec{\imath}_0\cdot\vec{k}_0=0}
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_2\cdot\vec{k}_1=(C\vec{\jmath}_0+S\vec{k}_0)\cdot\vec{k}_0=S}
Como además
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_Y= \dot{\phi}S}
Llegamos a la constante de movimiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{Oz_1}=\frac{1}{3}mb^2\dot{\phi}S^2=\mathrm{cte}}
Podíamos haber llegado a este resultado integrando la segunda de las ecuaciones de movimiento.
El valor de la constante lo obtenemos de las condiciones iniciales.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{0z_1}=\frac{1}{3}mb^2\dot{\phi}_0S_0^2\qquad\qquad (S_0=\mathrm{sen}(\theta_0)\ )}
Energía mecánica
Este sistema es conservativo, ya que sobre él actúan solo dos fuerzas:
- el peso, que deriva de un potencial,
- la reacción en O, que por actuar sobre un punto de velocidad nula no modifica la energía mecánica del sistema.
Por tanto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E=K+U=\mathrm{cte}\,}
siendo la energía cinética
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K=T=\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\bar{\bar{I}}\cdot\vec{\omega}=\frac{I_0}{2}(\omega_X^2+\omega_Y^2)=\frac{mb^2}{6}(\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2S^2)}
y la potencial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U=mgz_G=-mg\frac{b}{2}C}
lo que nos da la constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E=\frac{mb^2}{6}(\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2S^2)-\frac{mgb}{2}C}
Ecuación de movimiento reducida
La conservación de la componente del momento cinético nos permite expresar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}}
en función del ángulo θ
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}=\frac{3L_{Oz_1}}{mb^2S^2}=\frac{\dot{\phi}_0S_0^2}{S^2}}
resultado que podemos sustituir en la ecuación de movimiento para θ
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta}-\dot{\phi}_0^2S_0^4\frac{C}{S^3} = -\dfrac{3g}{2b}S}
Esta sería la ecuación de movimiento ya solo para este ángulo.
También podemos sustituir en la ley de conservación de la energía
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E=\frac{mb^2}{6}\dot{\theta}^2+\frac{3L_{0z_1}^2}{mb^2S^2}-\frac{mgb}{2}C}
que nos permite despejar la velocidad angular para cada valor del ángulo.
Movimiento cónico
Si se desea que la barra mantenga constante su inclinación, debe anularse la derivada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}}
, lo que nos da la condición
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\dot{\phi}^2SC = -\dfrac{3g}{2b}S}
y por tanto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}=\sqrt{\dfrac{3g}{2bC}}}
Como el coseno vale como máximo 1, existe una velocidad angular mínima para poder conseguir una inclinación constante.
