Introducción
Al introducir las coordenadas generalizadas llegamos a que el principio de D'Alembert puede escribirse en la forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_k(P_k-Q_k)\,\delta q_k = 0}
En el caso particular importante de que todos los vínculos sean holónomos y podamos definir 3N-r coordenadas generalizadas intependientes, cada uno de los coeficientes debe anularse por separado y obtenemos el sistema de ecuaciones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (q_k\ \mbox{independientes})\qquad\qquad P_k=Q_k}
Aquí las cantidades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_k}
son las fuerzas generalizadas
a las que se le puede dar una interpretación relativamente simple: son las componentes (en un sentido amplio) de las fuerzas que pueden producir un cambio en la coordenada 
. Si esta coordenada es cartesiana, 
representa una fuerza usual; si es un ángulo, representa el momento de una fuerza (que es el que produce un giro) y así sucesivamente.
Los términos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_k}
no tienen una interpretación inmediata. Se definen como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_k = \sum_i m_i\ddot{x}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}}
y podemos decir que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -P_k}
representa una fuerza de inercia generalizada, pero esta interpretación no aporta mucho, ya que esa fuerza de inercia requiere hallar la aceleración de las partículas, lo que es precisamente uno de los objetivos de la dinámica, por lo que no se pueden tratar como fuerzas aplicadas.
En lo que sigue deduciremos expresiones alternativas para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_k}
que proporcionan un método sistemático para la determinación de estas fuerzas de inercia generalizadas que no requiera conocer la solución del problema que queremos resolver.
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Dos identidades utiles
Definimos un conjunto de coordenadas generalizadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_k}
de manera que las coordenadas cartesianas de las diferentes partículas se escriben
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_i=x_i(q_k,t)\,}
A partir de las relaciones entre coordenadas hallamos la relación entre velocidades derivando
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}_i=\sum_k\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\dot{q}_k+\frac{\partial x_i}{\partial t}}
La velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}_i}
es una función de las coordenadas generalizadas, de las velocidades generalizadas y del tiempo. De la expresión anterior se deduce que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_k}=\frac{\partial x_i}{\partial q_k}}
Por otro lado, si hallamos la derivada total respecto al tiempo de la derivada parcial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)=\sum_p\frac{\partial\ }{\partial q_p}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)+\frac{\partial\ }{\partial t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)}
Por las propiedades de las derivadas parciales se puede invertir el orden de cada derivada cruzada
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)=\frac{\partial \ }{\partial q_k}\left(\sum_p\frac{\partial x_i}{\partial q_p}+\frac{\partial x_i}{\partial t}\right)=\frac{\partial\ }{\partial q_k}\left(\frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t}\right)}
Es decir, resulta la identidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)=\frac{\partial\dot{x}_i}{\partial q_k}}
Deducción de las ecuaciones
Partimos de la definición
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_k = \sum_i m_i \ddot{x}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}}
Aplicamos la derivada de un producto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_k = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\sum_i m_i\dot{x}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)-\sum_i m_i\dot{x}_i\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)}
Sustituimos aquí las dos identidades obtenidas anteriormente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_k = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\sum_i m_i\dot{x}_i\frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_k}\right)-\sum_i m_i\dot{x}_i\left(\frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_k}\right)}
Si introducimos aquí la energía cinética K (que en mecánica analítica se escribe casi exclusivamente como T, pero por ser consistentes con la notación de otras páginas de este curso)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K=\frac{1}{2}\sum_i m_i\dot{x}_i^2}
la identidad anterior equivale a
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_k = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}}
Llevando esto al principio de D'Alembert nos queda una primera versión de las ecuaciones de Lagrange
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_k\left(\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}-Q_k\right)\delta q_k=0}
donde las Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_k}
no incluyen las fuerzas de reacción vincular. A esta ecuación hay que añadir las r ecuaciones de vínculo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_k B_{jk}\dot{q}_k+B_{j0}=0\qquad\qquad(j=1,\ldots,r)}
que permiten relacionar los desplazamientos virtuales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_k B_{jk}\delta q_k=0\qquad\qquad(j=1,\ldots,r)}
Coordenadas independientes
Cuando todos os vínculos son holónomos, es posible (en teoría; en la práctica pueden resultar ecuaciones irresolubles) elegir un sistema mínimo de tantas coordenadas como grados de libertad de forma que todos los vínculos se satisfagan automáticamente.
En ese caso, todos los desplazamientos virtuales son independientes y cada coeficiente se debe anular por separado, resultando las ecuaciones de Lagrange (o de Euler-Lagrange)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}=Q_k}
Coordenadas polares
Las ecuaciones de Lagrange proporcionan un método para calcular las componentes de la aceleración en diferentes sistemas de coordenadas sin tener que complicarse con vectores de la base y sus derivadas.
Consideremos una partícula que se mueve en el plano OXY, estando su posición expresada en coordenadas polares de manera que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}x & = & \rho\,C \\ y & = & \rho\,S\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl}\dot{x} & = & \dot{\rho}\,C-\rho\,\dot{\theta}\,S \\ \dot{y} & = & \dot{\rho}\,S+\rho\,\dot{\theta}\,C\end{array}\right.\qquad\qquad \left(S=\mathrm{sen}(\theta),\ C=\cos(\theta)\right)}
Esto da la energía cinética
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K=\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)=\frac{1}{2}\left(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2\right)}
Aplicamos ahora la ecuación de Lagrange a la coordenada radial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial{K}}{\partial \dot{\rho}}=m\dot{\rho}\qquad\qquad\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial{K}}{\partial \dot{\rho}}\right)=m\ddot{\rho}\qquad\qquad \frac{\partial{K}}{\partial \rho}=m\rho\dot{\theta}^2}
lo que nos da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\left(\ddot{\rho}-\rho{\dot{\theta}^2}\right)=Q_\rho}
Por tratarse la coordenada de una distancia la fuerza generalizada es simplemente la fuerza en dicha dirección, es decir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\left(\ddot{\rho}-\rho{\dot{\theta}^2}\right)=F_\rho\qquad\rightarrow\qquad a_\rho=\ddot{\rho}-\rho{\dot{\theta}^2}}
Operamos igualmente para la coordenada angular
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial{K}}{\partial \dot{\theta}}=m\rho^2\dot{\theta}\qquad\qquad\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial{K}}{\partial \dot{\theta}}\right)=m\left(2\rho\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho^2\ddot{\theta}\right)\qquad\qquad \frac{\partial{K}}{\partial \theta}=0}
y obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\left(2\rho\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho^2\ddot{\theta}\right)=Q_\theta}
Por tratarse de un ángulo, la fuerza generalizada representa el momento de las fuerzas que actúan sobre la partícula y es igual al producto de la fuerza acimutal por el brazo del par, que en este caso es la distancia al origen
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\left(2\rho\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho^2\ddot{\theta}\right)=\rho F_\theta\qquad\Rightarrow\qquad a_\theta=2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}}
Fuerzas de reacción vincular
Si no todos los vínculos son holónomos o si deseamos hallar las fuerzas de reacción generalizadas debemos usar un número de coordenadas generalizadas superior al de grados de libertad.
A cada vínculo le corresponde una fuerza de reacción generalizada que podemos reintroducir en el sistema como una fuerza aplicada mediante los multiplicadores de Lagrange
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_k B_{jk} \mathrm{d}q_k+B_{j0}\,\mathrm{d} t = 0\qquad\Rightarrow\qquad Q^n_k=\lambda B_k}
Al incluir cada una de estas fuerzas deja de aplicarse el vínculo correspondiente, aumentando en uno el número de diferenciales independientes y por tanto el número de ecuaciones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}=Q_k+\sum_j \lambda_j B_{jk}}
Fuerzas conservativas
Lagrangiana
Las fuerzas conservativas son aquellas que realizan un trabajo independiente del camino. Para estas fuerzas puede definirse una energía potencial U (habitualmente denotada también como V) tal que las componentes cartesianas de la fuerza equivalen al gradiente de la energía potencial cambiado de signo.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}^\mathrm{c}=-\nabla U = -\frac{\partial U}{\partial x}\vec{\imath}- \frac{\partial U}{\partial y}\vec{\jmath}-\frac{\partial U}{\partial z}\vec{k}}
Separando por componentes cartesianas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F^\mathrm{c}_i=-\frac{\partial U}{\partial x_i}}
La fuerza generalizada correspondiente a una fuerza conservativa vendrá dada por la expresión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q^\mathrm{c}_k = -\sum_i \frac{\partial U}{\partial x_i}\,\frac{\partial x_i}{\partial q_k}}
pero, por la regla de la cadena, esta expresión equivale a
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_k^\mathrm{c} = -\frac{\partial U}{\partial q_k}}
Sobre un sistema actuarán en general fuerzas cosnervativas (como el peso) y fuerzas no conservativas (como el rozamiento), además de las de reacción vincular. Para las conservativas podemos emplear esta relación (tomando como energía potencial total la suma de las diferentes energías potenciales) y transformar la ecuación de Lagrange
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_k \left(\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}+\frac{\partial U}{\partial q_k}-Q_k^\mathrm{nc}\right)\delta q_k=0}
Definimos la función lagrangiana del sistema
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{L}=K-U\,}
Esta función depende de las coordenadas generalizadas y del tiempo (que aparecen en K y U), pero también de las velocidades generalizadas, que en principio aparecen solo en K.
Empleando la notación habitual en los libros de mecánica analítica sería Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{L}=T-V}
.
Con ayuda de esta función las fuerzas conservativas puede incorporarse en los primeros términos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_k \left(\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k}-Q_k^\mathrm{nc}\right)\delta q_k=0}
Si además las coordenadas son independientes se anulan los coeficientes, resultando las ecuaciones de Lagrange (una por cada coordenada):
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k}=Q_k^\mathrm{nc}}
y, si no hay presentes fuerzas no conservativas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k}=0}
Esta es la forma más simple de las ecuaciones de Lagrange y dado que aparecen así en muchos problemas, es tentador pensar que son universalmente válidas, pero hay que tener en mente siempre que esta expresión solo vale en ausencia de fuerzas no conservativas y si todas las coordenadas son independientes.
Oscilador armónico
Como caso muy simple de aplicación de las ecuaciones de Lagrange tenemos el ejemplo de un socilador armónico en una dimensión. Para este sistema
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K=\frac{1}{2}m\dot{x}^2\qquad\qquad U=\frac{1}{2}k(x-\ell_0)^2\qquad\qquad \mathcal{L}=K-U=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}k(x-\ell_0)^2}
lo que da la ecuación de movimiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{x}}=m\dot{x}\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{x}}\right)=m\ddot{x}\qquad\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=-k(x-\ell_0)}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=m\ddot{x}+k(x-\ell_0)=0}
Péndulo simple
Para el caso de un péndulo simple podemos emplear la energía cinética calculada previamente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho=\ell\qquad\dot{\rho}=0\qquad\qquad K=\frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2)=\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2}
y para la energía potencial, si tomamos el eje X como vertical y hacia abajo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U=-mgx=-mg\ell \cos(\theta)}
Llegamos entonces a la lagrangiana
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{L}=\frac{1}{2}m\ell^2 \dot{\theta}^2+mg\ell\cos(\theta)}
y de aquí a la ecuación de movimiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}=m\ell^2\dot{\theta}\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}\right)=m\ell^2\ddot{\theta}\qquad\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta}=-mg\ell\,\mathrm{sen}(\theta)}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta}=m\ell^2\ddot{\theta}+mg\ell\,\mathrm{sen}(\theta)=0\qquad\Rightarrow\qquad \ddot{\theta}=-\frac{g}{\ell}\mathrm{sen}(\theta)}
En un caso más general, con fuerzas no conservativas y considerando las fuerzas de reacción como fuerzas aplicadas quedaría la forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k}=Q^\mathrm{nc}_k+\sum_j \lambda_j B_{jk}}
Cálculo de las fuerzas de reacción
Incluso en los casos de coordenadas independientes y ausencia de fuerzas no conservativas puede interesarnos la determinación de las fuerzas de reacción asociadas a un vínculo de la forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_k B_k\dot{q}_k+B_0=0\,}
En ese caso, el procedimiento consiste en desvincular esta ligadura, suponiendo una fuerza de reacción vincular que produce el mismo efecto. En ese caso, tenemos una coordenada independiente más, y el conjunto se ve modificado con la introducción de esta fuerza de reacción
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k}=\lambda B_k}
En la mayoría de los casos, las coordenadas generalizadas se eligen precisamente para que los vínculos se reduzcan a identidades triviales, como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_n = b=\mathrm{cte}}
. En ese caso, la fuerza de reacción vincular se reduce a una sola componente (en la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_n}
) cuyo valor es justamente el multiplicador de Lagrange.
Tensión del péndulo simple
Tras plantear las ecuaciones del péndulo simple, podemos determinar la tensión desvinculando la ligadura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho=\ell}
. Es decir, volvemos a escribir la lagrangiana, suponiendo ahora que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho}
es variable
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{L}=\frac{1}{2}m\left(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2\right)+mg\rho\cos(\theta)}
Escribimos la ecuación de movimiento para la coordenada radial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{\rho}}=m\dot{\rho}\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{\rho}}\right)=m\ddot{\rho}\qquad\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \rho}=m\rho\dot{\theta}^2+mg\cos(\theta)}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\rho}}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \rho}=m\ddot{\rho}-m\rho\dot{\theta}^2-mg\cos(\theta)=\lambda}
Si aplicamos ahora que la fuerza de reacción es tal que la ecuación del vínculo se sigue cumpliendo, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho=\ell}
y la segunda derivada se anula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = -m\ell\dot{\theta}^2-mg\cos(\theta)}
En este caso, el multiplicador de Lagrange nos da la componente de la fuerza en la dirección y sentido en que aumenta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho}
. Resulta negativa, ya que la tensión es radial, pero hacia adentro.
Por otro lado, a partir de la ley de conservación de la energía mecánica, podemos hallar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}^2}
en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta}
y sustituir aquí.
Potenciales dependientes de la velocidad
El concepto de potencial puede generalizarse a algunas fuerzas dependientes de la velocidad, como la fuerza magnética de Lorentz Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=q(\vec{v}\times\vec{B})}
. Para estas fuerzas puede definirse un potencial que cumple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q^c_k = -\frac{\partial U}{\partial q_k}+\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_k}\right)}
Si se cumple esta condición, las ecuaciones de Lagrange siguen siendo válidas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k}=Q_k^\mathrm{nc}}
donde ahora las velocidades aparecen tanto en la energía cinética como en la potencial.
Sistema en rotación
Un caso en el que se puede usar esta formulación es el correspondiente a un sistema de referencia en rotación uniforme (como puede ser el propio planeta Tierra). Es sabido que en este sistema una partícula parece experimentar las fuerzas ficticias centrífuga y de Coriolis.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_c=-m\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})\qquad\qquad \vec{F}_C=-2m\vec{\omega}\times\vec{v}}
La fuerza de Coriolis es dependiente de la velocidad medida en el sistema de referencia en rotación. Por ello, sin necesidad de modificar nada, la lagrangiana calculada en un sistema de referencia fijo puede reinterpretarse como la resta a una energía cinética (medida en el sistema en rotación) de una energía potencial dependiente de las velocidades.
Consideremos el caso plano, con un sistema que gira con velocidad angular constante Ω alrededor del eje OZ. En ese caso las coordenadas (x,y) del sistema fijo se relacionan con las (X,Y) del sistema móvil a través de la matriz de rotación y de la fórmula de Poisson
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(C=\cos(\Omega t),\ S=\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\qquad\left\{\begin{array}{rcl}x&=&X\,C-Y\,S \\ y & = & X\,S+Y\,C\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl}\dot{x}&=&(\dot{X}-\Omega Y)\,C-(\dot{Y}+\Omega X)\,S \\ \dot{y} & = & (\dot{X}-\Omega Y)\,S+(\dot{Y}+\Omega X)\,C\end{array}\right.}
lo que nos da la energía cinética
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K=\frac{m}{2}\left((\dot{X}-\Omega Y)^2+(\dot{Y}+\Omega X)^2\right)= \frac{m}{2}\left(\dot{X}^2+\dot{Y}^2\right)+m\Omega(X\dot{Y}-Y\dot{X})+\frac{m\Omega^2}{2}(X^2+Y^2)=K'-U}
siendo el potencial efectivo, dependiente de la velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U=-m\Omega(X\dot{Y}-Y\dot{X})-\frac{m\Omega^2}{2}(X^2+Y^2)}
A partir de este potencial se deducen tanto la fuerza centrífuga como la de Coriolis.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial U}{\partial \dot{X}}\right) -\frac{\partial U}{\partial X}=-m\Omega^2 X -2m\Omega\dot{Y}\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial U}{\partial \dot{Y}}\right) -\frac{\partial U}{\partial Y}=-m\Omega^2 Y + 2m\Omega\dot{X}}
