Enunciado
Un bloque de peso 
se encuentra sobre un plano inclinado de altura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h=1.2\,\mathrm{m}}
y pendiente del 75%. El bloque se encuentra atado al punto superior del plano por un resorte de constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=30\,\mathrm{N}/\mathrm{m}}
y longitud natural Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_0=20\,\mathrm{cm}}
. Para hacer el estudio se considera el sistema de ejes indicado en la figura.
- Suponiendo que no existe rozamiento entre el bloque y el plano, determine la distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_\mathrm{eq}}
a la que la masa se queda en equilibrio.
- Suponga que inicialmente el bloque se encuentra sujeto a una distancia igual a la longitud natural del resorte y en ese momento se suelta. ¿Cuánto vale su rapidez cuando pasa por la distancia de equilibrio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_\mathrm{eq}}
? ¿Cuál es la distancia máxima Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_\mathrm{max}}
a la que llega el bloque?
- Suponga ahora que existe un coeficiente de rozamiento estático Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu=0.25}
entre el bloque y el plano. ¿Entre qué valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell}
puede situarse la masa en reposo, quedándose en equilibrio?
Posición de equilibrio
La posición de equilibrio será aquella en la que la suma de fuerzas sobre la masa sea cero. En ausencia de rozamiento tenemos tres fuerzas actuando sobre el bloque: el peso, la fuerza elástica y la reacción normal del plano
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}+\vec{F}_n+\vec{F}_e=\vec{0}}
Empleando el sistema de ejes indicado en el enunciado, cada una de estas fuerzas se escribe:
- Peso
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g} = mg\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}-mg\cos(\beta)\vec{k}}
- Fuerza normal
- Esta va en la dirección del eje OZ positivo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_n = F_n\vec{k}}
- Fuerza elástica
- Es tangente al plano inclinado y proporcional a la diferencia entre la longitud instantánea y la longitud natural
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_e =-k(\ell-\ell_0)\vec{\imath}}
Sumando los tres vectores y separando por componentes
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}+\vec{F}_n+\vec{F}_e=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl} mg\,\mathrm{sen}(\beta)-k(\ell-\ell_0)&=& 0 \\ -mg\cos(\beta)+F_n & = & 0 \end{array}\right.}
lo que nos da la longitud de equilibrio
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_\mathrm{eq} = \ell_0+\frac{mg\,\mathrm{sen}(\beta)}{k}}
donde, en este caso
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mg = 40\,\mathrm{N}\qquad\mathrm{tg}(\beta)=0.75\qquad\Rightarrow\qquad\left\{\begin{array}{c} \mathrm{sen}(\beta) = 0.60 \\ \cos(\beta) = 0.80\end{array}\right.}
y queda la distancia
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_\mathrm{eq}=0.20\,\mathrm{m}+\frac{40\cdot 0.60}{30}\,\mathrm{m}=1.00\,\mathrm{m}}
Obsérvese que la longitud de equilibrio no coincide con la longitud natural, sino que es mayor que esta, ya que la el peso estira el muelle.
Rapidez y alcance máximos
Cuando la partícula se suelta desde un punto que no sea la posición de equilibrio, describe un movimiento armónico simple alrededor de esta posición.
Las fuerzas que actúan sobre la masa son las mismas que antes, pero ya no se anulan mutuamente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{F}_n+\vec{F}_e}
Separando por componentes
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ma_x = mg\,\mathrm{sen}(\beta)-k(\ell-\ell_0)\qquad\qquad 0 = ma_z = -mg\cos(\beta)+F_n}
La fuerza normal sigue compensando a la componente normal del peso
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_n = mg\cos(\beta)\,}
Para estudiar la componente paralela al plano definimos la elongación del muelle como la diferencia respecto a la posición de equilibrio (que no la longitud natural)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = \ell-\ell_\mathrm{eq}=\ell-\left(\ell_0+\frac{mg\,\mathrm{sen}(\beta)}{k}\right)\qquad\Rightarrow\qquad \ell = x + \ell_0+ \frac{mg\,\mathrm{sen}(\beta)}{k}}
Empleando la elongación, la ley de Newton queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ma_x = m\ddot{x}=mg\,\mathrm{sen}(\beta)-k\left(x+ \ell_0+ \frac{mg\,\mathrm{sen}(\beta)}{k}-\ell_0\right) = -kx}
Esto es la ecuación de un oscilador armónico en torno a la posición de equilibrio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0}
. Obsérvese como con este cambio de variables el peso desaparece aparentemente de las ecuaciones y no tenemos que añadir el correspondiente término
La energía potencial asociada a la fuerza que mueve a la masa es la correspondiente a un oscilador armónico
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F(x) =-kx \qquad\Rightarrow\qquad U(x) = \frac{1}{2}kx^2}
Alcance máximo
Si la partícula se encuentra en la posición inicial igual a la longitud natural,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell(t=0) = \ell_0=0.20\,\mathrm{m}}
su elongación inicial es la diferencia entre esta y la longitud de equilibrio
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t=0) = \ell(t=0) -\ell_\mathrm{eq} = \ell_0 - \left(\ell_0+\frac{mg\,\mathrm{sen}(\beta)}{k}\right) = -\frac{mg\,\mathrm{sen}(\beta)}{k}}
Numéricamente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_\mathrm{eq}=1.00\,\mathrm{m}\qquad \ell(t=0) = \ell_0=0.20\,\mathrm{m}\qquad\qquad x(t=0) = x_0=-0.80\,\mathrm{m}}
Una vez que se suelta, la partícula describe oscilaciones alrededor del punto de equilibrio. Puesto que parte del reposo, la amplitud de las oscilaciones es igual a la diferencia entre la posición de equilibrio y la inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=|x_0| = 0.80\,\mathrm{m}}
El alcance máximo se obtiene cuando la masa llega a una distancia igual a la amplitud por el otro lado del punto de equilibrio
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_\mathrm{max} = \ell_\mathrm{eq}+A =1.80\,\mathrm{m}}
Rapidez máxima
La rapidez máxima se alcanza cuando el bloque pasa por la posición de equilibrio. En este momento la energía potencial elástica se ha transformado en energía cinética, cumpliéndose la igualdad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m|\vec{v}|_\mathrm{max}^2}
lo que nos da la rapidez máxima
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}|_\mathrm{max}=\sqrt{\frac{k}{m}}A =\sqrt{\frac{30}{40/9.81}}0.80\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 2.17\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}
Solución alternativa
Una forma alternativa más larga de llegar a estos mismos resultados consiste en considerar por separado la energía potencial gravitatoria y la elástica, de manera que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U(\ell) = mgh(\ell)+\frac{1}{2}k(\ell-\ell_0)^2}
La altura puede medirse desde cualquier nivel de referencia, no necesariamente desde el punto más bajo del plano. Si optamos por medirlo desde este punto, la altura para cada valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell}
será, en metros,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h(\ell) = h-\ell\,\mathrm{sen}(\beta) = 1.2-0.6l}
La altura inicial es, de acuerdo con esta fórmula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h_i = (1.2-0.2\cdot 0.6)\mathrm{m} = 1.08\,\mathrm{m}}
y en la posición de equilibrio
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h_\mathrm{eq}=(1.2-1.0\cdot 0.6)\mathrm{m} = 0.60\,\mathrm{m}}
La conservación de la energía mecánica nos da, para el cálculo de la rapidez máxima
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{2}m\overbrace{|\vec{v}_i|^2}^{=0}+m g h_i+\frac{1}{2}k\overbrace{(\ell_i-\ell_0)^2}^{=0} = \frac{1}{2}m|\vec{v}|^2+mgh_\mathrm{eq}+\frac{1}{2}k(\ell_\mathrm{eq}-\ell_0)^2}
En forma numérica, midiendo la energía en julios
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 40\cdot 1.08 = \frac{1}{2}\frac{40}{9.81}|\vec{v}|^2 +40\cdot 0.60 + \frac{1}{2}30(1.0-0.2)^2}
Despejando de aquí
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{2}4.08|\vec{v}|^2 = (43.2-24.0-9.6)\,\mathrm{J} = 9.6\,\mathrm{J}\qquad \Rightarrow\qquad |\vec{v}|=2.17\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}
El alcance máximo se obtiene de la misma forma, buscando en qué punto la energía cinética vuelve a ser nula.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{2}m\overbrace{|\vec{v}_i|^2}^{=0}+m g h_i+\frac{1}{2}k\overbrace{(\ell_i-\ell_0)^2}^{=0} = \frac{1}{2}m\overbrace{|\vec{v}|^2}^{=0}+mg(h-\ell_\mathrm{max}\mathrm{sen}(\beta))+\frac{1}{2}k(\ell_\mathrm{max}-\ell_0)^2}
Esto nos da la ecuación de segundo grado, con todas las magnitudes en el SI
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 43.2= 40(1.2-\ell_\mathrm{max})+15(\ell-0.2)^2 \qquad\Rightarrow\qquad \ell_\mathrm{max}^2-2\ell_\mathrm{max}+0.36=0}
Las dos soluciones de esta ecuación son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_\mathrm{min}=0.2\,\mathrm{m}}
, correspondiente a la posición inicial y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_\mathrm{max}=1.8\,\mathrm{m}}
Como se ve, este método desarrollado conduce a la solución correcta pero es mucho más largo y proclive a errores que el anterior.
Zona de equilibrio
Cuando tenemos fricción entre el bloque y el plano, además de las tres fuerzas del primer apartado, tenemos también que añadir la fuerza de rozamiento. Esta fuerza es tangente a la superficie
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_r = F_r \vec{\imath}}
lo que nos da las ecuaciones de equilibrio
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mg\,\mathrm{sen}(\beta)-k(\ell-\ell_0)+F_r = 0\qquad\qquad -mg\cos(\beta)+F_n = 0}
En la posición de equilibrio del primer apartado, la fuerza de rozamiento es nula ya que la fuerza elástica compensa al peso y no se ejerce fuerza externa sobre el bloque. Si se separa de esta posición, la fuerza de rozamiento va aumentando, hasta que llega a su valor límite. A partir de ahí no es capaz de compensar la diferencia entre la fuerza elástica y el peso, y el bloque se mueve. El valor máximo de la fuerza de rozamiento lo da la condición de deslizamiento inminente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |F_r| \leq \mu|F_n| = \mu mg\cos(\beta)}
con lo que los valores extremos de la posición los da el que se alcance la igualdad, esto es, cuando
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mg\,\mathrm{sen}(\beta) - k(\ell-\ell_0)\pm \mu mg \cos(\beta) = 0}
lo que da las posiciones extremas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell = \ell_0 +\frac{mg}{k}\left(\mathrm{sen}(\beta)\pm \mu\cos(\beta)\right)}
Sustituyendo los valores numéricos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell = \left(0.20 + \frac{40}{30}(0.6\pm 0.25\cdot 0.80)\right)\,\mathrm{m} = \left\{\begin{array}{c}0.73\,\mathrm{m} \\ 1.27\,\mathrm{m}\end{array}\right.}
Por tanto, la masa se quedará en reposo si
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0.73\,\mathrm{m}\leq \ell_0\leq 1.27\mathrm{m}}
En un extremo la fuerza de rozamiento irá en un sentido y en el otro apuntará en el sentido opuesto.
