Dos masas, un plano y un hilo

Enunciado

Se tienen dos masas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} atadas por un hilo ideal, inextensible y sin masa, que pasa por una polea también ideal (de masa despreciable y sin rozamiento). La masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} se encuentra sobre un plano inclinado un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} y entre ambos puede existir un coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} . La masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} cuelga verticalmente.

1. Considere en primer lugar el caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=0} (mesa horizontal). Si no hay rozamiento, ¿pueden quedarse en equilibrio las masas? ¿Cuál es su aceleración en ese caso? Si el coeficiente de rozamiento no es nulo, ¿cuál es su mínimo valor para que haya equilibrio? Si el rozamiento es menor que este mínimo, ¿cuáles son las aceleraciones de las masas?
2. Suponiendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha\neq 0} pero sin rozamiento, determine la aceleración de las masas. ¿Cuál debe ser la relación entre ellas para que el sistema se quede en equilibrio?
3. Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu\neq 0} ¿Entre qué valores mínimo y máximo debe estar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} para que las masas queden en equilibrio?
4. Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1=5.00\,\mathrm{kg}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{tg}(\alpha) = 0.75} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu = 0.30} . ¿Cuánto vale la aceleración de las masas si (a) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2 = 1.50\,\mathrm{kg}} , (b) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2 =3.00\,\mathrm{kg}} y (c) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2 = 4.50\,\mathrm{kg}} .

Caso de una mesa horizontal

Sobre la masa 1 actúan tres fuerzas: su peso, la reacción normal de la mesa y la tensión de la cuerda que tira de ella. Si hubiera rozamiento también deberíamos incluirlo, pero no es el caso. Por tanto tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1\vec{g}+\vec{F}_n + \vec{F}_{T1} = m_1\vec{a}_1}

Para la segunda masa las únicas fuerzas que actúan son su peso y la tensión que tira de ella hacia arriba

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2\vec{g}+\vec{F}_{T2}=m_2\vec{a}_a}

Separando en componentes cada una de estas ecuaciones tenemos, para la primera masa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{T1}=m_1a_1\qquad\qquad -m_1g+F_n = 0}

ya que su aceleración es puramente horizontal. Para la segunda masa obtenemos una sola ecuación escalar

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -m_2g+F_{T2}=m_2a_2\,}

Por tratarse de un hilo ideal sin masa, el módulo de la tensión en el extremo de la masa 1 es igual al del otro extremo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{T1}=F_{T2} = F_T\,}

y por ser inextensible la rapidez y la aceleración horizontal de la masa 1 debe coincidir con la de la masa 2,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_1 = -v_2\qquad\qquad a_1 = -a_2}

El signo negativo proviene de que, de acuerdo con el sistema de ejes elegido hemos considerado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_1=a_1\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{a}_2=a_2\vec{k}}

es decir, ambas dirigidas hacia la polea, por lo que una de ellas debe ser negativa.

Con estas simplificaciones queda el sistema

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1a_1 = F_T\qquad -m_2g+T=-m_2a_1}

Sumando las dos ecuaciones hallamos las aceleraciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2}g\qquad\qquad a_2 = -\frac{m_2}{m_1+m_2}g}

y, en forma vectorial,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2}g\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{a}_2 = -\frac{m_2}{m_1+m_2}g\vec{k}}

En el caso particular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1=m_2=m}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_1 = \frac{g}{2}\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{a}_2=-\frac{g}{2}\vec{k}\qquad\qquad(m_1=m_2)}

Asimismo, podemos calcular las diferentes fuerzas de reacción vincular. La reacción de la mesa es opuesta al peso de la masa situada sobre ella

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -m_1g+F_n = 0 \qquad\Rightarrow\quad\vec{F}_n = m_1g\vec{k}}

mientras que las tensiones en los extremos de la cuerda valen, en el primer caso

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{T1} = m_1a_1\vec{\imath}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}g\vec{\imath}}

y en el segundo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{T2} = m_2\vec{a}_2-m_2\vec{g} = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}g\vec{k}}

Estas dos fuerzas son iguales en módulo, pero no en dirección y sentido, es decir, no se trata de fuerzas opuestas.

Diagramas de cuerpo libre

Analizamos este problema dibujando los diagramas de cuerpo libre de cada una de las masas por separado.

Para la masa 1 (la situada en el plano) actúan las siguientes fuerzas:

• Su peso
• La reacción normal del plano
• La tensión de la cuerda
• La fuerza de rozamiento

de forma que su ecuación de movimiento es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1\vec{g}+\vec{F}_{n1}+\vec{F}_{T1} + \vec{F}_{r1}=m_1\vec{a}_1}     

Sobre la masa 2, la colgante, solo actúan dos fuerzas

• Su peso
• La tensión de la cuerda

lo que nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2\vec{g}+\vec{F}_{T2} = m_2\vec{a}_2}

Por ser la cuerda que una las dos masas inextensible y sin masa, y por ser también ideal la polea (sin masa y sin rozamiento), se cumple en todo instante que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{T}_1| = |\vec{T}_2|\qquad\qquad |\vec{a}_1|=|\vec{a}_2|}

La igualdad es entre módulos y no entre vectores, ya que aunque la tensión tenga la misma magnitud, su dirección es diferente para cada masa.

Equilibrio sin rozamiento

Consideramos en primer lugar una situación sin rozamiento en la que las masas están perfectamente equilibradas y su aceleración es nula. Esto nos deja con las ecuaciones de equilibrio

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1\vec{g} + \vec{F}_{n1}+\vec{F}_{T1} = \vec{0}\qquad m_2\vec{g}+\vec{F}_{T2}=\vec{0}}

Las dos fuerzas que actúan sobre la masa 2 son verticales. Para que se anulen deben ser iguales y opuestas. Esto nos da el valor de la tensión

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -m_2g+F_T = 0\qquad\Rightarrow\qquad F_T = m_2g}

Para analizar el estado de la masa 1 consideramos un sistema de ejes en el que el eje X es paralelo al plano hacia arriba, y el eje Z es perpendicular al plano. Obsérvese que no necesitamos usar el mismo sistema de ejes para las dos masas. En este sistema

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1\vec{g}=-m_1g\,\mathrm{sen}(\alpha)\vec{\imath}-m_1g\cos(\alpha)\vec{k}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{n1}=F_{n}\vec{k}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{T1}=F_T\vec{\imath}=m_2g\vec{\imath}}

Sustituyendo e igualando a 0 cada componente nos quedan las ecuaciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -m_1g\,\mathrm{sen}(\alpha)+m_2g=0\qquad\qquad -m_1g\cos(\alpha)+F_n=0}

lo que nos da la relación buscada

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{m_2}{m_1}= \mathrm{sen}(\alpha)}

También hallamos el valor de la fuerza normal

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{n}=m_1g\cos(\alpha)\,}

Como caso particular tenemos que si el plano fuera horizontal sería imposible retener las masas. Para que se queden en reposo hace falta rozamiento.

Equilibrio con rozamiento

Cuando tenemos en cuenta la fuerza de rozamiento, la ecuación para la masa 1 debe incluir la fuerza correspondiente, que será tangente a la superficie de contacto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{r1}=F_r\vec{\imath}}

En la situación de equilibrio (aceleraciones nulas), quedan las ecuaciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -m_1g\,\mathrm{sen}(\alpha)+m_2g+F_r=0\qquad\qquad -m_1g\cos(\alpha)+F_n=0}

El valor de la fuerza de rozamiento no está determinado en principio. Solo sabemos que, en una situación de rozamiento estático

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |F_r|\leq \mu |F_n|= \mu m_1 g\cos(\alpha)\,}

Para hallar las valores máximo y mínimo de la masa 2, debemos considerar las dos posibilidades de deslizamiento inminente:

• Que la masa 2 sea tan ligera que no sea capaz de impedir que la masa 1 descienda por el plano.
• Que sea tan pesada, que sea capaz de arrastrar a la masa 1 hacia arriba del plano.

En ambos casos las fuerza de rozamiento tiene su valor límite:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |F_r|= \mu m_1g\cos(\alpha)\,}

pero su sentido puede tener un sentido o el opuesto según el caso. Esto nos lleva a la ecuación de equilibrio

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -m_1g\,\mathrm{sen}(\alpha)+m_2g\pm \mu m_1g\cos(\alpha)=0}

lo que nos da las relaciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{m_2}{m_1}= \mathrm{sen}(\alpha)\pm \mu \cos(\alpha)}

siendo los valores máximo y mínimo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_{2\mathrm{min}} = m_1(\mathrm{sen}(\alpha)- \mu \cos(\alpha))\qquad\qquad m_{2\mathrm{max}} = m_1(\mathrm{sen}(\alpha)+ \mu \cos(\alpha))}

Al calcular la masa mínima según esta fórmula podría resultar un valor negativo si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu > \mathrm{tg}(\alpha)} , lo que sería absurdo. Lo que significa esto es que no hace falta masa 2 para que la masa 1 se quede en equilibrio, ya que el rozamiento estático se basta para retener a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} . Una forma más rigurosa de escribir la masa 2 mínima sería

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_{2\mathrm{min}}=\begin{cases} 0 & \mu > \mathrm{tg}(\alpha) \\ m_1(\mathrm{sen}(\alpha)- \mu \cos(\alpha)) & \mu < \mathrm{tg}(\alpha)\end{cases}}

Movimiento acelerado

Cuando la masa 2 escapa de los límites anteriores, el rozamiento no es capaz de contener al sistema y las masas comienzan a moverse aceleradamente. Tenemos dos posibilidades, que la masa 2 sea demasiado ligera o demasiado pesada. En un caso las masas se acelerarán en un sentido y en el otro lo harán en el opuesto. Lo que cambia en cuanto a las fuerzas del sistema es el diferente sentido de la fuerza de rozamiento.

Masa 2 pesada

Si la masa 2 es muy pesada desciende verticalmente arrastrando en su movimiento a la masa 1, que asciende por el plano.

La aceleración de la masa 2 tendrá por módulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} (que debemos calcular) y será vertical y hacia abajo. Eligiendo un sistema de ejes en el que el eje Z es el vertical hacia arriba, nos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2\vec{g}=-mg\vec{k}\qquad \vec{F}_{T2} = F_T\vec{k}\qquad m_2\vec{a}_2=-m_2a\vec{k}}

lo que nos da la ecuación de movimiento para esta masa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2\vec{g}+\vec{F}_{T2}=m_2\vec{a}_2\qquad\Rightarrow\qquad -m_2g+F_T =-m_2a\,}

Nótese que ya la tensión de la cuerda no es igual al peso de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} .

Para la masa 1 elegimos los mismos ejes que en el caso estático (obsérvese que no tenemos obligación de elegir los mismos ejes para la masa 1 y para la masa 2, pues las tratamos por separado). La aceleración de esta masa será tangente al plano y hacia arriba

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_1=a\vec{\imath}}

La fuerza de rozamiento en este caso es una de rozamiento dinámico, que irá en la dirección tangente al plano y hacia abajo del plano

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_r = -\mu F_n\vec{\imath}}

lo que nos da las ecuaciones de movimiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -m_1g\,\mathrm{sen}(\alpha)+F_T-\mu F_n=m_1a\qquad\qquad -m_1g\cos(\alpha)+F_n=0}

Despejando y sustituyendo la tensión de la ecuación para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} y la fuerza normal

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -m_1g\,\mathrm{sen}(\alpha)+m_2g-m_2a-\mu m_1g\cos(\alpha)=m_1a}

lo que nos da la aceleración

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=\frac{-m_1(\mathrm{sen}(\alpha)+\mu \cos(\alpha))+m_2g}{m_1+m_2}g}

Masa 2 ligera

Suponemos ahora que la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} mínima para que haya equilibrio no es nula (si no, no hay más hablar) y que el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} es inferior a él. En ese caso, la masa 1 desciende por el plano arrastrando a la 2, que sube verticalmente.

El análisis es similar al anterior solo que en este caso las aceleraciones y la fuerza de rozamiento cambian de sentido,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_2 = a\vec{k}\qquad \vec{a}_1=-a\vec{\imath}\qquad \vec{F}_r = \mu F_n\vec{\imath}}

lo que nos da las ecuaciones de movimiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -m_2g+T = m_2a\qquad\qquad -m_1g\,\mathrm{sen}(\alpha)+F_T+\mu F_n=-m_1a\qquad\qquad -m_1g\cos(\alpha)+F_n=0}

Resolviendo llegamos a la aceleración

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=\frac{m_1(\mathrm{sen}(\alpha)-\mu \cos(\alpha))-m_2g}{m_1+m_2}g}

En el caso de que no haya rozamiento, esta ecuación y la del apartado anterior predicen la misma aceleración

Casos prácticos

Calculamos en primer lugar los valores máximos y mínimos de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} para que haya equilibrio

Valor máximo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_{2\mathrm{max}}=m_1\left(\mathrm{sen}(\alpha)+\mu\cos(\alpha)\right)=5.00(0.60+0.30\cdot 0.80)\,\mathrm{kg}= 4.20\,\mathrm{kg}}

Valor mínimo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_{2\mathrm{min}}=m_1\left(\mathrm{sen}(\alpha)-\mu\cos(\alpha)\right)=5.00(0.60+0.30\cdot 0.80)\,\mathrm{kg}= 1.80\,\mathrm{kg}}

Tenemos entonces los tres casos:

Caso (a)

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2 = 1.50\,\mathrm{kg}} la masa está por debajo del valor mínimo para permanecer en equilibrio. Las dos masas se aceleran, ascendiendo la masa 2. La aceleración con que lo hace es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=\frac{m_1(\mathrm{sen}(\alpha)-\mu \cos(\alpha))-m_2g}{m_1+m_2}g=0.452\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

Caso (b)

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2 = 3.50\,\mathrm{kg}} , se encuentra comprendida entre los dos valores que permiten equilibrio. En este caso, la aceleración de las dos masas es nula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = 0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

Caso (c)

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2 = 4.50\,\mathrm{kg}} supera el valor máximo para permanecer en equilibrio. Las dos masas se aceleran, descendiendo la masa 2. La aceleración con que lo hace es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=\frac{m2g-m_1(\mathrm{sen}(\alpha)+\mu \cos(\alpha))}{m_1+m_2}g=0.310\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}