Masa que cuelga de dos hilos

Enunciado

En la situación de equilibrio de una masa atada con dos hilos, ilustrada en la figura, ¿cuánto valen los módulos de las tensiones respectivas?

Solución

Puesto que la masa está en equilibrio, su aceleración es nula. La suma de las fuerzas que actúan sobre ella es nula:

$m{\vec {g}}+{\vec {F}}_{T1}+{\vec {F}}_{T2}={\vec {0}}$

Tomando un sistema de ejes en el que el eje OX es horizontal y el OY es vertical y hacia arriba, estas fuerzas quedan en la forma

$m{\vec {g}}=-mg{\vec {\jmath }}\qquad \qquad {\vec {F}}_{T1}=-F_{T1}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {F}}_{T2}=F_{T2}\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}+F_{T2}\cos(\theta ){\vec {\jmath }}$

donde θ es el ángulo que el hilo forma con la vertical.

Sustituimos e igualamos a 0 cada componente:

${\begin{array}{rcccl}x:&\quad &0&=&-F_{T1}+F_{T2}\,\mathrm {sen} (\theta )\\y:&\quad &0&=&-mg+F_{T2}\cos(\theta )\end{array}}$

Despejando de aquí

$F_{T2}={\frac {mg}{\cos(\theta )}}\qquad \qquad F_{T1}=F_{T2}\,\mathrm {sen} (\theta )=mg\,\mathrm {tg} (\theta )$

Para el valor numérico, tenemos que θ es el vértice de un triángulo rectángulo de catetos 30 cm y 40 cm, con hipotenusa 50 cm. Esto nos da

$\mathrm {sen} (\theta )={\frac {30}{50}}={\frac {3}{5}}\qquad \qquad \cos(\theta )={\frac {40}{50}}={\frac {4}{5}}$

y, por tanto,

$F_{T2}={\frac {100\,\mathrm {N} }{4/5}}=125\,\mathrm {N} \qquad \qquad F_{T1}=100\,\mathrm {N} \times {\frac {3}{4}}=75\,\mathrm {N}$

En forma vectorial

${\vec {F}}_{T1}=-75{\vec {\imath }}\,\mathrm {N} \qquad \qquad {\vec {F}}_{T2}=(75{\vec {\imath }}+100{\vec {\jmath }})\mathrm {N}$

Vemos que la tensión no se reparte entre los dos hilos. Es más, la tensión del hilo oblicuo es superior al peso.