Calculo de magnitudes a partir de v(t) (GIOI)

Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de una recta de forma que su velocidad sigue la ley, en el SI

$v(t)=(3t^{2}-66t+216)\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

entre $t=0\,\mathrm {s}$ y $t=24\,\mathrm {s}$. La posición inicial es $x(0)=0\,\mathrm {m}$. Halle:

1. La posición de la partícula en cada instante del intervalo indicado.
2. La velocidad media de la partícula en este intervalo.
3. Los valores máximo y mínimo de $x$.
4. La distancia recorrida en ese intervalo y la rapidez media.
5. La aceleración en todo instante.
6. Los valores máximo y mínimo de la velocidad y la rapidez.

Posición

La posición instantánea la hallamos integrando la velocidad

$x(t)=x_{0}+\int _{0}^{t}v(t)\,\mathrm {d} t$

En este caso

$x(t)=\int _{0}^{t}(3t^{2}-66t+216)\mathrm {d} t=t^{3}-33t^{2}+216t$

estando el tiempo medido en segundos y la posición en metros.

Velocidad media

El desplazamiento en este intervalo es

$\Delta x=x(24)-x(0)=0-0=0\,\mathrm {m}$

con lo que la velocidad media es nula

$v_{m}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=0\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Posición máxima y mínima

Los valores extremos de la posición corresponden a los instantes en que la velocidad se anula

$3t^{2}-66t+216=0\qquad \Rightarrow \qquad t=4\,\mathrm {s} \qquad {\mbox{o}}\qquad t=18\,\mathrm {s}$

siendo la posición en esos instantes

$x(4\,\mathrm {s} )=400\,\mathrm {m} \qquad \qquad x(18\,\mathrm {s} )=-972\,\mathrm {m}$

La partícula parte del origen, llega a una distancia máxima, a partir de ahí retrocede hasta un valor mínimo negativo y de ahí avanza de nuevo hasta terminar en la posición inicial

Distancia recorrida y rapidez media

La distancia total recorrida no coincide con el desplazamiento neto, ya que la partícula va y viene en su movimiento.

De los resultados del apartado anterior tenemos que la partícula avanza 400 m, luego retrocede esos mismos 400 m y hace 972 m. Por último vuelve a recorrer de nuevo los 972 m hasta la posición original. la distancia total recorrida es

$\Delta s=400\,\mathrm {m} +400\,\mathrm {m} +972\,\mathrm {m} +972\,\mathrm {m} =2744\,\mathrm {m}$

Si no hubiéramos hallado previamente estas cantidades podemos calcular la distancia total recorrida integrando la rapidez

$\Delta s=\int _{0}^{T}|v|\,\mathrm {d} t$

El valor absoluto de la velocidad se obtiene cambiando el signo de la velocidad en los tramos en que es negativa ya que

$|x|={\begin{cases}x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}}$

. El cambio de signo se produce en los puntos en que la velocidad se anula.

    

Esto nos da

$|v|={\begin{cases}\left(3t^{2}-66t+216\right)\mathrm {m} /\mathrm {s} &0\,\mathrm {s} <t<4\,\mathrm {s} \\-\left(3t^{2}-66t+216\right)\mathrm {m} /\mathrm {s} &4\,\mathrm {s} <t<18\,\mathrm {s} \\\left(3t^{2}-66t+216\right)\mathrm {m} /\mathrm {s} &18\,\mathrm {s} <t<24\,\mathrm {s} \end{cases}}$

Integrando esto

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \Delta s = \int_0^4 \left(3t^2-66t+216\right)\,\mathrm{d}t+\int_4^{18} \left(-\left(3t^2-66t+216\right)\right)\,\mathrm{d}t+\int_{18}^{24} \left(3t^2-66t+216\right)\,\mathrm{d}t \\ = \left(400+1372+972\right)\,\mathrm{m} = 2744\,\mathrm{m}}

La rapidez media es la distancia total recorrida dividida por el tiempo empleado:

$|v|_{m}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {2744\,\mathrm {m} }{24\,\mathrm {s} }}=114.3\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Aceleración

Derivando de nuevo hallamos la aceleración instantánea

$a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=\left(6t-66\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

La gráfica de esta figura es una línea recta

Archivo:Adet-cubica.png

La gráfica pasa por cero justo donde la velocidad es mínima.

Velocidad y rapidez máximas y mínimas

La velocidad mínima se obtiene cuando la aceleración es nula, es decir en $t=11\,\mathrm {s}$. En ese instante

$v(11\,\mathrm {s} )=-147\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

La máxima se alcanza en uno de los extremos del intervalo. Hallamos los dos valores para ver cuál es el mayor

$v(0\,\mathrm {s} )=216\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\qquad \qquad v(24\,\mathrm {s} )=360\,\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Por tanto el valor máximo en 360m/s.

Para la rapidez el valor máximo es el mismo, pero el mínimo no es +147m/s, sino 0m/s. Obsérvese que los extremos de la rapidez en este caso no se hallan donde su derivada es nula.