Transformación Δ-Y (delta-estrella)

Enunciado

En la transformación Δ-Y (delta-estrella) se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres condensadores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres condensadores unidos a un nodo central descargado.

1. Demuestre que dadas las capacidades de la estrella Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_2} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_3} , las capacidades de la delta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{12}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{13}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{23}} vienen dadas por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ccccc}C_{12}=\dfrac{C_1 C_2}{S}&\qquad& C_{13}=\dfrac{C_1 C_3}{S}&\qquad& C_{23}=\frac{C_2 C_3}{S}\\ &&&& \\ &&S=C_1+C_2+C_3&&\end{array}}

1. Demuestre las relaciones inversas: dadas las capacidades de la delta, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{12}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{13}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{23}} , las capacidades de la estrella, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_2} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_3} . vienen dadas por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ccccc}C_1=\dfrac{P}{C_{23}}&\qquad& C_2=\dfrac{P}{C_{13}}&\qquad& C_3=\dfrac{P}{C_{12}}\\ &&&& \\ &&P=C_{12} C_{13}+C_{12} C_{23}+C_{13} C_{23}&&\end{array}}

1. Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las capacidades valen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{12}=20\,\mathrm{nF}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{13}=30\,\mathrm{nF}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{23}=12\,\mathrm{nF}} .
2. Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1=100\,\mathrm{pF}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_2=400\,\mathrm{pF}} ,Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_3=500\,\mathrm{pF}} .
3. Para los dos apartados anteriores, suponga que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_1=10\,\mathrm{V}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_2=5\,\mathrm{V}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_3=0\,\mathrm{V}} . Para las dos configuraciones equivalentes calcule la energía almacenada y compruebe que se llega al mismo resultado.

De la estrella a la delta

Cuando tenemos voltajes $V_{1}$, $V_{2}$ y $V_{3}$ aplicados en los respectivos nodos, la carga en las placas conectadas al nodo 1 de la delta es

$Q_{1}=C_{12}(V_{1}-V_{2})+C_{13}(V_{1}-V_{3})$

En la estrella, la misma carga es

$Q_{1}=C_{1}(V_{1}-V_{0})$

siendo $V_{0}$ el voltaje del nodo central. Para hallar este voltaje observamos que en el conductor central no hay carga (no puede haber llegado de ninguna manera), por lo que

$C_{a}(V_{0}-V_{1})+C_{2}(V_{0}-V_{2})+C_{3}(V_{0}-V_{3})=0\qquad \Rightarrow \qquad V_{0}={\dfrac {C_{1}V_{1}+C_{2}V_{2}+C_{3}V_{3}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}}}$

Llevamos esto a la expresión de la carga y nos queda

$Q_{1}=C_{2}(V_{1}-V_{0})=C_{1}\left(V_{1}-{\dfrac {C_{1}V_{1}+C_{2}V_{2}+C_{3}V_{3}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}}}\right)={\frac {C_{1}C_{2}(V_{1}-V_{2})+C_{1}C_{3}(V_{1}-V_{3})}{S}}$

con

$S=C_{1}+C_{2}+C_{3}$

Comparando esta expresión con la correspondiente a la delta obtenemos la equivalencia

$C_{12}={\dfrac {C_{1}C_{2}}{S}}\qquad \qquad C_{13}={\dfrac {C_{1}C_{3}}{S}}$

Si operamos de la misma manera con la carga del conductor 2 obtenemos la equivalencia restante

$C_{23}={\dfrac {C_{2}C_{3}}{S}}$

De la estrella a la delta

Para obtener la relación inversa, debemos despejar $C_{1}$, $C_{2}$ y $C_{3}$ de las relaciones anteriores, lo que no es trivial.

Comenzamos calculando la cantidad P definida en el enunciado

$P=C_{12}C_{13}+C_{12}C_{23}+C_{13}C_{23}={\frac {C_{1}^{2}C_{2}C_{3}}{S^{2}}}+{\frac {C_{1}C_{2}^{2}C_{3}}{S^{2}}}+{\frac {C_{1}C_{2}C_{3}^{2}}{S^{2}}}$

Extraemos aquí factor común

$P={\frac {C_{1}C_{2}C_{3}(C_{1}+C_{2}+C_{3})}{S^{2}}}{\frac {C_{1}C_{2}C_{3}S}{S^{2}}}={\frac {C_{1}C_{2}C_{3}}{S}}$

y, una vez que tenemos esta identidad queda

$C_{12}={\dfrac {C_{1}C_{2}}{S}}={\frac {P}{C_{3}}}\qquad \Rightarrow \qquad C_{3}={\frac {P}{C_{12}}}$

y, de la misma manera,

$C_{1}={\dfrac {P}{C_{23}}}\qquad \qquad C_{2}={\dfrac {P}{C_{13}}}$

Estrella equivalente a una delta

En el caso particular $C_{12}=20\,\mathrm {nF}$, $C_{13}=30\,\mathrm {nF}$, $C_{23}=12\,\mathrm {nF}$ tenemos

$P=C_{12}C_{13}+C_{12}C_{23}+C_{13}C_{23}=(20\cdot 30+20\cdot 12+30\cdot 12)\mathrm {nF} ^{2}=1200\,\mathrm {nF} ^{2}$

lo que nos da las capacidades de la estrella

$C_{1}={\frac {P}{C_{23}}}={\frac {1200}{12}}\,\mathrm {nF} =100\,\mathrm {nF} \qquad \qquad C_{2}={\frac {1200}{30}}\,\mathrm {nF} =40\,\mathrm {nF} \qquad \qquad C_{3}={\frac {1200}{20}}\,\mathrm {nF} =60\,\mathrm {nF}$

Delta equivalente a una estrella

Si tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1=100\,\mathrm{pF}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_2=400\,\mathrm{pF}} ,Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_3=500\,\mathrm{pF}} hallamos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=C_1+C_2+C_3=1000\,\mathrm{pF}}

y obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{12}=\frac{C_1C_2}{S}=\frac{100\cdot400}{1000}\,\mathrm{pF}=40\,\mathrm{pF}}      Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{13}=\frac{100\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=50\,\mathrm{pF}}      Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_3= \frac{400\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=200\,\mathrm{pF}}

Comparación de la energía

Primer caso

Si nos dan Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_1=10\,\mathrm{V}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_2=5\,\mathrm{V}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_3=0\,\mathrm{V}} , la delta nos da la energía

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_{12}(V_1-V_2)^2+\frac{1}{2}C_{13}(V_1-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{23}(V_2-V_3)^2 =\\ = \left(\frac{1}{2}20\cdot 5^2+\frac{1}{2}30\cdot 5^2+\frac{1}{2}12\cdot 10^2\right)\,\mathrm{nJ}=1.9\,\mu\mathrm{J}}

Para calcular esta energía con la estrella primero hallamos el voltaje del nodo central

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_0=\dfrac{C_1V_1+C_2V_2+C_3 V_3}{C_1+C_2+C_3}=\frac{100\cdot 10+40\cdot 5+60\cdot 0}{100+40+60}\,\mathrm{V}=6\,\mathrm{V}}

y esto nos da la energía

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_1(V_1-V_0)^2+\frac{1}{2}C_2(V_2-V_0)^2+\frac{1}{2}C_3(V_3-V_0)^2= \left(\frac{1}{2}100\cdot 4^2+\frac{1}{2}60\cdot 1^2+\frac{1}{2}40\cdot 6^2\right)\,\mathrm{nJ}=1.9\,\mu\mathrm{J}}

En el segundo caso

Para la estrella calculamos en primer lugar el voltaje del nodo central

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_0=\frac{100\cdot 10+400\cdot 5+500\cdot 0}{100+400+500} = 3\,\mathrm{V}}

y estpo nos da la energía

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\left(\frac{1}{2}100\cdot 7^2+\frac{1}{2}400\cdot 2^2+\frac{1}{2}500\cdot 3^2\right)\,\mathrm{pJ}=5.5\,\mathrm{nJ}}

Empleando la delta equivalente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\left(\frac{1}{2}40\cdot 5^2+\frac{1}{2}50\cdot 10^2+\frac{1}{2}200\cdot 5^2\right)\,\mathrm{pJ}=5.5\,\mathrm{nJ}}