Mezcla de dos cantidades de agua (4)

Enunciado

Se pone en contacto 1kg de agua a 80 ℃ con una masa m de agua a 20 ℃. ¿Cuál es la temperatura final de la mezcla, en función de m? ¿Cuánto calor entra en la masa m? ¿A qué tienden los resultados si m→∞?

Solución

Este problema es una generalización del problema “Mezcla de dos cantidades de agua”. Tenemos dos masas de agua que se ponen en contacto. La temperatura final de equilibrio es

$T_{f}={\frac {C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}}{C_{1}+C_{2}}}$

siendo las capacidades caloríficas proporcionales a la masa de cada parte

$T_{f}={\frac {m_{1}cT_{1}+m_{2}cT_{2}}{m_{1}c+m_{2}c}}={\frac {m_{1}T_{1}+mT_{2}}{m_{1}+m}}$

Sustituimos los valores numéricos. Podemos escribir la temperatura en grados celsius y la masa en kilogramos. En este caso queda

$T_{f}={\frac {80+20m}{1+m}}$

Esta función va de 80 ℃ (para $m=0$) a 20 ℃ (para $m\to \infty$). Cuando mayor es la masa del agua fría menos se ve afectada por el añadido de agua caliente. Para una masa de 10 kg la temperatura final es de 25.45 ℃, para Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle m = 100 \mathrm{kg}} es 20.59 ℃ y para Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle m = 1000 \mathrm{kg}} es de 20.06 ℃. Esto quiere decir que si vertemos un litro de agua caliente en un metro cúbico de agua fría (mil veces más masa), la temperatura del agua fría casi no cambia y se puede considerar un baño térmico.

Esto se ve claramente en una gráfica con una escala logarítmica, que permite representar varios órdenes de magnitud.