Trabajo realizado por la gravedad

Enunciado

Una partícula se encuentra sometida a su peso ${\vec {F}}=-mg{\vec {k}}$. Halle el trabajo realizado por esta fuerza cuando la partícula pasa de ${\vec {r}}_{A}=R{\vec {k}}$ a ${\vec {r}}_{B}=-R{\vec {k}}$ moviéndose sobre una semicircunferencia vertical de radio $R$ con centro el origen de coordenadas.

Movimiento en una semicircunferencia

La clave para realizar integrales definidas es leerlas al pie de la letra. En este caso, se trata de dividir una curva en trocitos. Para cada trocito, hallar el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento y sumar todos los trocitos.

En este caso nuestra curva es una semicircunferencia que va desde un punto que podemos llamar “polo norte” ${\vec {r}}_{A}=+R{\vec {k}}$ hasta otro que sería el “polo sur” ${\vec {r}}_{B}=-R{\vec {k}}$ a lo largo de una curva que en la superficie terrestre sería un meridiano.

Para identificar los puntos de este meridiano, definimos un ángulo $\theta$ que varía desde 0 en el polo norte hasta π en el polo sur.

Cuando variamos $\theta$ en una cantidad diferencial $\mathrm {d} \theta$ realizamos un desplazamiento cuya longitud es igual al radio por el ángulo

$|\mathrm {d} {\vec {r}}|=R\,\mathrm {d} \theta$

con dirección tangente al meridiano y sentido hacia el sur.

Cuando multiplicamos este desplazamiento por la fuerza que actúa sobre la partícula en ese punto obtenemos

${\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=|{\vec {F}}||\mathrm {d} {\vec {r}}|\cos(\alpha )$

El ángulo $\alpha$ que forma la fuerza con el desplazamiento no es igual al ángulo $\theta$, sino a su complementario

$\alpha ={\frac {\pi }{2}}-\theta \qquad \Rightarrow \qquad \cos(\alpha )=\mathrm {sen} (\theta )$

y por tanto el producto escalar vale

${\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=-mgR\,\mathrm {sen} (\theta )\,\mathrm {d} \theta$

Se trata entonces de hallar la integral

$W=\int _{0}^{\pi }mgR\,\mathrm {sen} (\theta )\,\mathrm {d} \theta$

Este es el único punto en el que realmente hay que calcular una primitiva, que en este caso es inmediata

$W=\left.-mgR\cos(\theta )\right|_{0}^{\pi }=2mgR$