Dilatación de una esfera metálica

Enunciado

Se tiene una bola hueca de hierro que a 20°C tiene un radio interior de 12.0 mm y un radio exterior de 15.0 mm, siendo la densidad del hierro a esta temperatura 7874 kg/m³ y su coeficiente de dilatación lineal 11.8×10⁻⁶K⁻¹.

Se eleva la temperatura de la bola a 50°C. Determine:

1. Los nuevos radios interior y exterior de la bola.
2. El incremento en el volumen ocupado por el hierro.
3. La variación en la densidad del hierro

Enunciado

Se tiene una bola hueca de hierro que a 20°C tiene un radio interior de 12.0 mm y un radio exterior de 15.0 mm, siendo la densidad del hierro a esta temperatura 7874 kg/m³ y su coeficiente de dilatación lineal 11.8×10⁻⁶K⁻¹.

Se eleva la temperatura de la bola a 50°C. Determine:

1. Los nuevos radios interior y exterior de la bola.
2. El incremento en el volumen ocupado por el hierro.
3. La densidad del hierro a 50°C.
4. Si la bola de hierro está llena de aire que inicialmente tiene una presión de 100 kPa, ¿cuál será la presión del gas cuando la esfera está a 50°C?

Dilatación de los radios

Si el cambio de temperatura es pequeño, todas las distancias siguen la misma ley de dilatación

$L(T)=L_{0}(1+\alpha (T-T_{0}))\,$

o, considerando solo incrementos

$\Delta L=\alpha L_{0}\,\Delta T$

Puesto que los incrementos son usualmente muy pequeños, es preferible trabajar con esta segunda fórmula, ya que en la primera pueden darse errores de redondeo.

El incremento en el radio exterior es

$\Delta R_{\mathrm {ext} }=R_{\mathrm {ext} }\alpha \,\Delta T=(15.0\,\mathrm {mm} )\times (11.8\times 10^{-6}\mathrm {K} ^{-1})\times (30\,\mathrm {K} )=0.00531\,\mathrm {mm} =5.31\,\mu \mathrm {m}$

Vemos que la dilatación es prácticamente inapreciable, ya que la longitud pasa de 15.0 mm a 15.00531 mm, con lo cual, si se trabaja con tres cifras significativas, este aumento es despreciable y puede ser ignorado.

El radio interior también crece en la misma proporción, es decir, el hueco interior se hace más grande,

$\Delta R_{\mathrm {int} }=R_{\mathrm {int} }\alpha \,\Delta T=(11.0\,\mathrm {mm} )\times (11.8\times 10^{-6}\mathrm {K} ^{-1})\times (30\,\mathrm {K} )=0.00425\,\mathrm {mm} =4.25\,\mu \mathrm {m}$

Dilatación en el volumen

Una vez que tenemos los nuevos radios interior y exterior, podríamos hallar el volumen mediante la fórmula para una corona esférica

$V={\frac {4\pi }{3}}\left(R_{\mathrm {ext} }^{3}-R_{\mathrm {int} }^{3}\right)$

Hallando el volumen posterior a la dilatación y restándole el anterior a ella, tendríamos la dilatación volumétrica. Sin embargo, dada la pequeñez de las dilataciones en los radios (de un 0.03%), al hacer los cálculos nos saldría que el volumen final es prácticamente idéntico al inicial y la dilatación es nula.

Por ello, es preferible trabajar también con incrementos para el volumen y aplicar la fórmula para la dilatación correspondiente

$\Delta V=V_{0}\beta \,\Delta T$

donde el coeficiente de dilatación volumétrica es el triple del lineal

$\beta =3\alpha =3\times 11.8\times 10^{-6}\mathrm {K} ^{-1}=35.4\times 10^{-6}\,\mathrm {K} ^{-1}$

El volumen inicial de la bola es

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle V_0 = \frac{4\pi}{3}\left(15.0^3-12.0^3\right)\mathrm{mm}^3 = 6898.95¡4\,\mathrm{mm}^3\simeq 6.90\,\mathrm{cm}^3}

lo que nos da un incremento en el volumen

$\Delta V=V_{0}\beta \,\Delta T=(6.90\,\mathrm {cm} ^{3})\times (35.4\times 10^{-6}\mathrm {K} ^{-1})\times (30\,\mathrm {K} )=7.33\,\mathrm {mm} ^{3}$

Cambio en la densidad

Puesto que la masa permanece constante, un aumento en el volumen implica una disminución en la densidad de masa, siendo su variación

$\Delta \rho =-\rho _{0}\beta \,\Delta T$

cuyo valor en este caso es

$\Delta \rho =-\left(7874\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}\right)\times (35.4\times 10^{-6}\mathrm {K} ^{-1})\times (30\,\mathrm {K} )=-8.36{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}$

lo que nos da una densidad tras la dilatación de aproximadamente

$\rho '=\rho _{0}+\Delta \rho =7866{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}$