Refrigerador alimentado por máquina térmica

Enunciado

Para alimentar un refrigerador que tiene un cierto $\mathrm {COP} _{\mathrm {R} }$ en una casa en el campo se usa un grupo electrógeno que es una máquina térmica con rendimiento η.

1. Si definimos el rendimiento del conjunto como la proporción entre el calor que extrae del interior de la cámara frigorífica y el calor que consume la máquina térmica, ¿cuánto vale este rendimiento en función de las dos cantidades anteriores?
2. Si el calor que extrae por segundo es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{Q}_\mathrm{in}^R} , ¿cuánto calor de desecho produce por segundo?

Solución

Rendimiento

Para extraer el calor el refrigerador requiere un trabajo

$W_{\mathrm {in} }^{\mathrm {R} }={\frac {Q_{\mathrm {in} }^{\mathrm {R} }}{\mathrm {COP} _{\mathrm {R} }}}$

Este trabajo lo produce la máquina térmica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_\mathrm{in}^\mathrm{R}=W_\mathrm{out}^\mathrm{MT} }

y para producir este trabajo la máquina térmica requiere una cantidad de calor

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lo que nos da la relación entre el calor extraído y el consumido

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_\mathrm{in}^\mathrm{MT}=\frac{Q_\mathrm{in}^\mathrm{R}}{\eta\mathrm{COP}_\mathrm{R} }

y el rendimiento del conjunto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r= \frac{Q_\mathrm{in}^\mathrm{R}}{Q_\mathrm{in}^\mathrm{MT}} = \eta\mathrm{COP}_\mathrm{R} }

Calor de desecho

El calor de desecho lo produce tanto el refrigerador como la máquina térmica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{Q}_\mathrm{out} = \dot{Q}_\mathrm{out}^\mathrm{R}+\dot{Q}_\mathrm{out}^\mathrm{MT} }

El flujo de calor de desecho del refrigerador es

${\dot {Q}}_{\mathrm {out} }^{\mathrm {R} }={\dot {Q}}_{\mathrm {in} }^{\mathrm {R} }+{\dot {W}}_{\mathrm {in} }^{\mathrm {R} }=\left(1+{\frac {1}{\mathrm {COP} _{\mathrm {R} }}}\right)Q_{\mathrm {in} }^{\mathrm {R} }$

y el de la máquina térmica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{Q}_\mathrm{out}^\mathrm{MT}=\dot{Q}_\mathrm{in}^\mathrm{MT} - \dot{W}_\mathrm{in}^\mathrm{MT} = \left(\frac{1}{\eta}-1\right)\dot{W}_\mathrm{out}^\mathrm{MT}}

En términos del calor extraída por el refrigerador

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{Q}_\mathrm{out}^\mathrm{MT} =\left(\frac{1}{\eta}-1\right)\frac{\dot{Q}_\mathrm{in}^\mathrm{R}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R}}}

siendo el flujo de calor de desecho total

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{Q}_\mathrm{out} = \left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R}}\right)\dot{Q}_\mathrm{in}^\mathrm{R} + \left(\frac{1}{\eta}-1\right)\frac{\dot{Q}_\mathrm{in}^\mathrm{R}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R}} = \left(1+\frac{1}{\eta\mathrm{COP}_\mathrm{R}}\right)\dot{Q}_\mathrm{in}}