Mezcla de dos cantidades de agua (4)

Enunciado

Se pone en contacto 1 kg de agua a 80 ℃ con una masa m de agua a 20 ℃. ¿Cuál es la temperatura final de la mezcla, en función de m? ¿Cuánto calor entra en la masa m? ¿A qué tienden los resultados si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\to\infty} ?

Solución

Este problema es una generalización del problema “Mezcla de dos cantidades de agua”. Tenemos dos masas de agua que se ponen en contacto. La temperatura final de equilibrio es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_f = \frac{C_1 T_1+ C_2 T_2}{C_1+C_2}}

siendo las capacidades caloríficas proporcionales a la masa de cada parte

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_f = \frac{m_1cT_1+m_2c T_2}{m_1c + m_2c}=\frac{m_1 T_1 + m T_2}{m_1+m}}

Sustituimos los valores numéricos. Podemos escribir la temperatura en grados celsius y la masa en kilogramos. En este caso queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_f = \frac{80+20m}{1+m}}

Esta función va de 80 ℃ (para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m = 0} ) a 20 ℃ (para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\to\infty} ). Cuando mayor es la masa del agua fría menos se ve afectada por el añadido de agua caliente. Para una masa de 10 kg la temperatura final es de 25.45 ℃, para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m = 100\,\mathrm{kg}} es 20.59 ℃ y para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m = 1000\,\mathrm{kg}} es de 20.06 ℃. Esto quiere decir que si vertemos un litro de agua caliente en un metro cúbico de agua fría (mil veces más masa), la temperatura del agua fría casi no cambia y se puede considerar un baño térmico.

Esto se ve claramente en una gráfica con una escala logarítmica, que permite representar varios órdenes de magnitud.

El calor que entra en el sistema es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q=m_1 c(T_f-T_1) = m_1 c\left(\frac{m_1 T_1 + m T_2}{m_1+m}-T_1\right)=\frac{m_1m c(T_2-T_1)}{m_1+m}}

Sustituimos los valores numéricos y queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q= \frac{4.18 m(-60)}{1+m}=-\frac{250.8m}{1+m}\,\mathrm{J}}