Calidad de una mezcla

Enunciado

La densidad del agua a 101.3 kPa y 100 ℃ es de 958 kg/m³ y la del vapor de agua a la misma temperatura y presión es de 0.59 kg/m³. Se tiene 1000 cm³ de agua a 100℃ en un cilindro con pistón móvil. Se suministra calor al agua de forma que se vaporiza parcialmente. Halle la calidad (o título) de la mezcla de agua y vapor de agua en el estado final, si el volumen final es

1. 2 L
2. 1 m³.

Solución

Inicialmente tenemos 1000 cm³ de agua, que tienen una masa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_T=\rho_a V_0= 0.958\,\mathrm{kg}}

Cuando una parte del agua se vaporiza, la masa total no cambia, por lo que en todo momento se cumplirá

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_a + m_v = m_T\,}

con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_a} y $m_{v}$ las masas de agua y de vapor, respectivamente.

Conocemos también el volumen total para cada uno de los apartados

$V_{a}+V_{v}=V_{T}\,$

y, en función de las masas

${\frac {m_{a}}{\rho _{a}}}+{\frac {m_{v}}{\rho _{v}}}=V_{T}$

esto es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas con solución:

$m_{a}={\frac {\rho _{a}(m_{T}-\rho _{v}V_{T})}{\rho _{a}-\rho _{v}}}\qquad \qquad m_{v}={\frac {\rho _{v}(\rho _{a}V_{T}-m_{T})}{\rho _{a}-\rho _{v}}}$

La calidad de la mezcla es

$x={\frac {m_{v}}{m_{a}+m_{v}}}={\frac {m_{v}}{m_{T}}}={\frac {\rho _{v}}{\rho _{a}-\rho _{v}}}\left({\frac {\rho _{a}V_{T}}{m_{T}}}-1\right)={\frac {\rho _{v}}{\rho _{a}-\rho _{v}}}\left({\frac {V_{T}}{V_{0}}}-1\right)$

Numéricamente, con el volumen en litros:

$x={\frac {0.59}{958-0.59}}\left({\frac {V_{T}}{1}}-1\right)=0.000616246(V_{T}-1)$

para un volumen de 2 L

$x=0.000616246=0.0616\%$

y para 1000 L

$x=0.000616246\times 999=0.615=61.5\%$