Principio de D'Alembert (CMR)

Introducción

La formulación analítica de la dinámica es un planteamiento alternativo de las leyes de la mecánica empleando esencialmente cantidades relacionadas con la energía.

Notación

La Mecánica analítica trata principalmente con cantidades escalares. Por ello, aparecerán en las ecuaciones que siguen no tanto los vectores de posición de las partículas como sus coordenadas. Por ello, emplearemos la notación $x_{i}$ para denotar cualquier coordenada cartesiana de las partículas del sistema. Si el sistema tiene una sola partícula, el indice i llegará hasta 3, si son dos hasta 6, etc. Para cada coordenada cartesiana se cumplirá la segunda ley de Newton

$m_{i}{\ddot {x}}_{i}=F_{i}\qquad \qquad i=1,2,\ldots 3N$

donde $m_{1}=m_{2}=m_{3}$ ya que se trata de las coordenadas de la misma partícula, pero eso no afecta a la validez de la expresión, y podemos hablar de la partícula i de manera individual.

Aquí $F_{i}$ sería la componente de la fuerza sobre la partícula i según la dirección de la coordenada $x_{i}$.

Fuerzas

La fuerza sobre cada partícula será suma de las fuerzas aplicadas externamente ${\vec {F}}_{a}$ sobre la partícula (conocidas como fuerzas activas) y de las posibles fuerzas de reacción vincular, ${\vec {F}}_{n}$ (donde usamos “n” por analogía con la fuerza normal de una superficie, pero como veremos no son necesariamente ortogonales)

$m_{i}{\ddot {x}}_{i}=F_{i}^{a}+F_{i}^{n}$

Tanto las fuerzas aplicadas como las de reacción pueden ser tanto externas (como el peso o la reacción de una superficie rígida exterior al sistema) como internas (como las fuerzas eléctricas o la tensión de una varilla ideal que une dos partículas). A su vez, tanto unas como otras podrán ser funciones de las posiciones de las demás partículas, de sus velocidades y del tiempo.

$m_{i}{\ddot {x}}_{i}=F_{i}(x_{k},{\dot {x}}_{k},t)\qquad \qquad k=1,2,\ldots 3N$

Vínculo

Artículo completo: Vínculos en mecánica analítica

Como sabemos, si existen r vínculos, estas ecuaciones no son suficientes para determinar la evolución del sistema, ya que las fuerzas de reacción vincular son desconocidas a priori. Para completar el sistema se precisan las ecuaciones de los vínculos. Suponiendo solo vínculos bilaterales, tenemos los vínculos geométricos

$f_{j}(x_{k},t)=0\qquad j=1,\ldots r$

y los vínculos cinemáticos, de los que solo consideraremos los que son lineales en las velocidades

$\sum _{i}A_{ji}{\dot {x}}_{i}+A_{j0}=0\qquad \qquad j=1,\ldots ,r$

donde los coeficientes $A_{ji}$ son funciones de las coordenadas y el tiempo

$A_{ji}=A_{ji}(x_{k},t)\,$

Los vínculos geométricos también conducen a vínculos cinemáticos derivando respecto al tiempo. En ese caso

$A_{ji}={\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}\qquad \qquad A_{j0}={\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}$

Alternativamente, tenemos la forma pfaffiana de la ligadura, que relaciona los desplazamientos diferenciales

$\sum _{i}A_{ji}\,\mathrm {d} x_{i}+A_{j0}\,\mathrm {d} t=0\qquad \qquad j=1,\ldots ,r$

Trabajo diferencial

Cuando una partícula sometida a una fuerza ${\vec {F}}$ realiza un desplazamiento diferencial $\mathrm {d} {\vec {r}}$, el trabajo diferencial realizado por la fuerza se define como

$\mathrm {d} W={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=F_{x}\mathrm {d} x+F_{y}\mathrm {d} y+F_{z}\mathrm {d} z=\sum _{i=1}^{3}F_{i}\,\mathrm {d} x_{i}$

Más en general, si tenemos un sistema sometido a diferentes fuerzas, el trabajo diferencial total será la suma de todos los trabajos individuales:

$\mathrm {d} W=\sum _{i}F_{i}\,\mathrm {d} x_{i}$

Si conocemos las fuerzas podemos hallar el trabajo, pero ¿qué ocurre cuando las fuerzas son desconocidas (como ocurre con las de reacción vincular), ¿a partir del trabajo podemos determinar las fuerzas? ¿Y el movimiento de la partícula? Veremos que, en un amplio abanico de casos sí es posible, al menos teóricamente.

La clave está en analizar cuándo es nulo ese trabajo. Si tenemos una única fuerza, de manera que el sumatorio se reduce a un solo término y sabemos que este trabajo es nulo cualquiera que sea el desplazamiento, la conclusión es que la fuerza debe ser nula

$0=\mathrm {d} W=F\,\mathrm {d} x\quad \forall \mathrm {d} x\qquad \Rightarrow \qquad F=0$

Si tenemos dos coordenadas y cada una puede variar independientemente, el razonamiento sigue siendo válido

$0=\mathrm {d} W=F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y\qquad \forall \mathrm {d} x,\mathrm {d} y\qquad \Rightarrow \qquad F_{x}=0\qquad F_{y}=0$

Sin embargo, si existe un vínculo entre las coordenadas, el asunto se complica. Imaginemos que existe el vínculo de que la suma de las dos coordenadas es constante. En ese caso, lo que aumenta una es igual a lo que disminuye la otra. Las variaciones no son independientes

$x+y=A=\mathrm {cte.} \qquad \Rightarrow \qquad \mathrm {d} y=-\mathrm {d} x$

Llevando esto a la expresión del trabajo nulo

$0=\mathrm {d} W=F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y=F_{x}\,\mathrm {d} x-F_{y}\,\mathrm {d} x=(F_{x}-F_{y})\,\mathrm {d} x\qquad \forall \mathrm {d} x\qquad \Rightarrow \qquad F_{x}=F_{y}$

es decir, podemos probar que las fuerzas serán iguales, pero no cuánto vale cada una. En las siguientes secciones precisaremos este resultado y veremos cómo se determinan las fuerzas y los movimientos.

Desplazamientos posibles y desplazamientos virtuales

La primera distinción que debemos hacer es entre los denominados desplazamientos reales, posibles y virtuales.

Para ello comenzamos con el vínculo más simple posible: una partícula que se ve obligada a moverse sobre una superficie lisa estacionaria

$f({\vec {r}})=0$

Este vínculo es bilateral, esclerónomo, liso y holónomo. En su forma pfaffiana, escribiremos este vínculo como una relación entre los diferenciales

$0=\mathrm {d} f=\nabla f\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z$

Puesto que el desplazamiento debe ser forzosamente tangente a la superficie, esta relación implica que el vector gradiente es perpendicular a ella.

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\vec {\imath }}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\vec {\jmath }}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\vec {k}}\perp \mathrm {d} {\vec {r}}$

Si el vínculo es liso, la fuerza de reacción vincular es también perpendicular a la superficie (proporcional, por tanto, al gradiente) y por ello no realiza trabajo en el desplazamiento

${\vec {F}}_{n}=\lambda \nabla f\qquad \Rightarrow \qquad 0=\mathrm {d} W={\vec {F}}_{n}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{i}F_{i}^{n}\,\mathrm {d} x_{i}$

Por tanto, para este tipo de vínculos el trabajo realizado por la fuerza de reacción vincular es nulo. Este resultado vale tanto para el desplazamiento real que realiza la partícula, como para todos los desplazamientos posibles compatibles con la ligadura.

Sin embargo, esto no siempre es cierto. Consideremos el caso de una partícula en el suelo liso de un ascensor que sube. En este caso, no es cierto que la fuerza sea ortogonal al desplazamiento, ya que éste posee una componente en la dirección vertical, que es la misma de la fuerza. Es más, si el ascensor sube una altura $h$, la partícula gana una energía potencial $mgh$. ¿De donde ha salido esta energía? Del trabajo realizado por la fuerza de reacción, que es la que está moviendo a la partícula en contra del peso. Por tanto, no solo es que el trabajo no sea nulo, es que puede ser crucial en los cálculos.

Precisando, si el vínculo es de la forma

$f({\vec {r}},t)=0$

su forma pfaffiana será

$0=\mathrm {d} f=\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\mathrm {d} t=\nabla f\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\mathrm {d} t$

La fuerza de reacción vincular sigue siendo perpendicular a la superficie en cada instante

${\vec {F}}_{n}=\lambda \nabla f\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {F}}_{n}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\lambda \nabla f\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=-\lambda {\frac {\partial f}{\partial t}}\mathrm {d} t\neq 0$

Vemos que la diferencia se debe a la derivada temporal del vínculo.

Definimos entonces los desplazamientos virtuales, $\delta x_{i}$, como aquellos que son compatibles con el vínculo, suponiendo éste congelado en el tiempo, es decir, que cumplen la relación

$\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,\delta x_{i}=0$

Obsérvese que la definición del desplazamiento virtual es sutil, ya que el tiempo sigue apareciendo en la expresión (está dentro de las derivadas parciales). Lo que hacemos es tratarlo como un parámetro, no como una variable. Por hacer una analogía, un vínculo que fuera el movimiento restringido a la superficie de un globo de aire caliente dependerá de la temperatura del aire, pero esa temperatura es un parámetro que nos da el tamaño del globo, no una coordenada. Aquí estaríamos tratando el tiempo de la misma forma.

Más en general, si un vínculo es de la forma pfaffiana

$\sum _{i}A_{i}(x_{k},t)\mathrm {d} x_{i}+A_{0}(x_{k},t)\,\mathrm {d} t=0$

se dice que un desplazamiento virtual que satisface este vínculo es el que verifica

$\sum _{i}A_{i}(x_{k},t)\,\delta x_{i}=0$

Tenemos entonces tres tipos de desplazamientos diferenciales:

Reales, $\mathrm {d} x_{i}$

son los que de hecho efectúan las partículas del sistema, sometidas a las fuerzas de reacción vincular y a las fuerzas aplicadas. En cada problema concreto y en cada instante habrá un único desplazamiento real.

Posibles, $\mathrm {d} x_{i}$

son aquellos compatibles con todas las ecuaciones de los vínculos, sin considerar las fuerzas aplicadas. En cada problema y en cada instante habrá una infinitud de desplazamientos posibles. Estos desplazamientos forman un espacio afín de dimensión GDL = 3N-r (el número de grados de libertad). Todo desplazamiento real es un desplazamiento posible.

Virtuales, $\delta x_{i}$

son los compatibles con los vínculos suponiendo estos independientes del tiempo en cada instante. Otra forma de definirlos es decir que la diferencia entre dos desplazamientos posibles es un desplazamiento virtual. Los desplazamientos virtuales forman un espacio vectorial de dimensión GDL = 3N-r. En general, un desplazamiento real no coincidirá con uno virtual.

Esta clasificación permite una clasificación adicional de las ligaduras: un vínculo es catastático cuando los desplazamientos virtuales coinciden con los desplazamientos posibles, es decir, es de la forma

$\sum _{i}A_{i}(x_{k},t)\,\mathrm {d} x_{i}=0$

Los vínculos esclerónomos son catastáticos, pero también existen otros vínculos no holónomos que satisfacen esta relación aunque dependan del tiempo.

Si no es catastático, se dice que es acatastático. Los vínculos geométricos reónomos son acatastáticos.

Vínculos ideales

Hemos visto que la fuerza de reacción vincular debida a una superficie lisa es perpendicular a ésta. Por tanto su trabajo en un desplamiento virtual (lo que se conoce como trabajo virtual) es nulo

$\delta W=\sum _{i}F_{i}\,\delta x_{i}=\lambda \sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\delta x_{i}=\lambda \,\delta f=0$

Nótese que no se anula cada uno de los sumandos por separado. Lo que se anula es la suma.

Existen más fuerzas de reacción vincular que verifican esta relación, aunque no sean ortogonales a una superficie material.

Tensión en un hilo

Así, en el caso de dos masas unidas por un hilo que pasa por una polea ideal, la fuerza de reacción es la tensión del hilo. Esta tensión va en la misma dirección en que se desplazan las masas, por lo que su trabajo obviamente no es nulo. No obstante, sí se cumple que la tensión del hilo, si es ideal, es la misma para las dos masas, mientras que los desplazamientos virtuales son opuestos

$F_{1}=F_{2}=F_{T}\qquad \qquad x_{1}+x_{2}=\ell =\mathrm {cte} \qquad \Rightarrow \qquad \delta x_{1}+\delta x_{2}=0$

Por ello, se anula el trabajo virtual total

$\delta W=F_{1}\,\delta x_{1}+F_{2}\,\delta x_{2}=F_{T}(\delta x_{1}+\delta x_{2})=0$

Fuerzas en un sólido rígido

De la misma manera se anula el trabajo virtual debido a las fuerzas entre dos partículas que satisfacen la condición de rigidez, es decir, que la distancia entre ellas permanece constante. Consideramos el trabajo debido a las fuerzas de interacción entre las partículas

$\delta W={\vec {F}}_{A}\cdot \delta {\vec {r}}_{A}+{\vec {F}}_{B}\cdot \delta {\vec {r}}_{B}$

Por la tercera ley de Newton ${\vec {F}}_{B}=-{\vec {F}}_{A}$ y

$\delta W={\vec {F}}_{B}\cdot (\delta {\vec {r}}_{B}-\delta {\vec {r}}_{A})={\vec {F}}_{B}\cdot \delta {\overrightarrow {AB}}=0$

También por la tercera ley de Newton, la fuerza entre ellas es paralela a la línea que une las partículas mientras que por la condición de rigidez el desplzamiento relativo es ortogonal a esta recta. Por tanto, el trabajo virtual debido a estas fuerzas es nulo.

Rozamiento estático

En el caso de un cuerpo sólido apoyado sobre otro de forma que existe una fuerza de rozamiento estático entre ellos, las fuerzas de reacción vincular si son tangentes a la superficie de contacto (a diferencia de los vínculos lisos), pero ahora lo que se anulan son los desplazamientos virtuales, ya que el vínculo es que la posición relativa permanezca inmóvil. Por tanto, también se anula el trabajo virtual.

Este tipo de fuerzas de reacción incluye el caso importante de la rodadura sin deslizamiento entre sólidos.

Como vemos, el conjunto de situaciones en que se anula el trabajo virtual de las fuerzas de reacción es bastante amplio.

Definimos entonces los vínculos ideales como aquellos cuyas fuerzas de reacción vincular producen un trabajo nulo ante desplazamientos virtuales

$\delta W=\sum _{i}F_{i}^{r}\,\delta x_{i}=0$

siendo los $\delta x_{i}$ los compatibles con todos los vínculos presentes

$\sum _{i}A_{ji}\delta x_{i}=0\qquad \qquad j=1,\ldots ,r$

La excepción más importante en la que no se anula el trabajo virtual es el caso del rozamiento dinámico. En este caso, sí hay fuerzas y desplazamientos tangentes a las superficies de contacto, por lo que el trabajo virtual es no nulo. Lo que se hace en estos casos es tratar la fuerza de rozamiento dinámico no como una de reacción, sino como una fuerza aplicada. Para que esto sea factible, debemos disponer de alguna ley física para el rozamiento, como puede ser la ley de Coulomb del rozamiento seco. De manera similar se tratan otras fuerzas no conservativas como pueden ser las ejercidas por un motor.

Ecuación fundamental de la dinámica o principio de D'Alembert

Hemos visto que los sistemas sometidos a fuerzas de reacción vincular, que son incógnitas adicionales de los problemas, satisfacen en numerosas ocasiones que no realizan trabajo en un desplazamiento virtual.

Se trata ahora de darle la vuelta al razonamiento y partiendo de este hecho, conseguir varios objetivos:

• Eliminar las fuerzas de reacción de los problemas, y trabajar solo con las fuerzas aplicadas.
• Determinar el movimiento el sistema.
• Calcular a posteriori las fuerzas de reacción.

Para ello, suponemos un sistema descrito por 3N coordenadas cartesianas, cada una de las cuales satisface la segunda ley de Newton

$m_{i}{\ddot {x}}_{i}=F_{i}^{a}+F_{i}^{n}\qquad \qquad i=1,\ldots ,3N$

Admitimos que las fuerzas de reacción vincular son ideales, es decir, no realizan trabajo en un desplazamiento virtual. En ese caso podemos hacer

$\sum _{i}(m_{i}{\ddot {x}}_{i}-F_{i}^{a})\,\delta x_{i}=\sum _{i}F_{i}^{n}\,\delta x_{i}=0$

es decir, la suma de las fuerzas activas y los términos inerciales cambiados de signo tampoco realizan trabajo virtual. Esta es la ecuación fundamental de la dinámica o Principio de D'Alembert

$\sum _{i}\left(m_{i}{\ddot {x}}_{i}-F_{i}^{a}\right)\,\delta x_{i}=0\qquad \qquad i=1,\ldots ,3N$

donde los desplazamientos virtuales están relacionados por r ecuaciones de vínculo

$\sum _{i}A_{ji}\delta x_{i}=0\qquad \qquad i=1,\ldots ,3N\qquad \qquad j=1,\ldots ,r$

Si agrupamos las coordenadas cartesianas en los vectores de posición de las diferentes partículas queda la relación vectorial

$\sum _{i}(m_{i}{\vec {a}}_{i}-{\vec {F}}_{i}^{a})\cdot \delta {\vec {r}}_{i}=0\qquad \qquad i=1,\ldots ,N$

En el caso estático todas las aceleraciones son nulas y la ecuación se reduce a una relación entre las fuerzas aplicadas, conocida como Principio de los trabajos virtuales

$({\vec {a}}_{i}=0\ \forall i)\qquad \qquad \sum _{i}{\vec {F}}_{i}^{a}\cdot \delta {\vec {r}}_{i}=0\qquad \qquad i=1,\ldots ,N$

El principio de D'Alembert puede entenderse como una generalización del principio de los trabajos virtuales si consideramos que sobre cada partícula actúa una fuerza de inercia $-m_{i}{\vec {a}}_{i}$.

A esta ecuación hay que añadir las condiciones iniciales para las posiciones y velocidades. Éstas no pueden ser arbitrarias, ya que deben satisfacer las ecuaciones de vínculo.

La ecuación fundamental de la dinámica es una única ecuación escalar. ¿Cómo pueden obtenerse a partir de ella las ecuaciones de movimiento para todas las coordenadas?

Obtención de las ecuaciones de movimiento

La clave es que debe cumplirse para cualquier desplazamiento virtual compatible con las ligaduras. Si un $\delta x_{i}$ puede tomar cualquier valor (infinitesimal) entonces su coeficiente debe anularse para que la suma total sea nula en todo caso.

Los desplazamiento de las diferentes coordenadas no son todos independientes entre sí, ya que están relacionados por los r vínculos. Las ecuaciones de los vínculos constituyen un sistema de r ecuaciones con 3N incógnitas. Podemos despejar de ellas r desplazamientos en función de los restantes 3N-r y sustituir en la ecuación fundamental de la dinámica. De esta forma, en esta ecuación aparecerán solo 3N-r diferenciales independientes, lo que permite anular cada coeficiente y obtener 3N-r ecuaciones.

No acaba ahí el proceso, ya que aunque de una sola ecuación hemos obtenido 3N-r ecuaciones distintas, tantas como grados de libertad del sistema, éstas siguen incluyendo 3N variables. Por tanto, hay que suplementar el sistema con las r ecuaciones de vínculo para llegar a 3N ecuaciones con 3N incógnitas.

Hay que destacar que todo este procedimiento no garantiza que resulten ecuaciones simples o que puedan siquiera despejarse unas variables en función de otras para ir sustituyendo sucesivamente.

Máquina de Atwood

Como ejemplo simple, consideremos dos masas $m_{1}$ y $m_{2}$ unidas por un hilo que pasa por una polea ideal (sin masa y sin rozamiento), de forma que ambas cuelgan verticalmente. ¿Cuánto vale la aceleración con la que se mueven las masas?

Si consideramos el eje X vertical y hacia abajo, la ecuación fundamental de la dinámica puede escribirse como

$m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)\delta x_{1}+m_{2}({\ddot {x}}_{2}-g)\delta x_{2}=0$

Las coordenadas están relacionadas por el vínculo

$x_{1}+x_{2}=\ell \qquad \Rightarrow \qquad \delta x_{1}+\delta x_{2}=0$

lo que llevado a la ecuación anterior nos da

$\left(m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)-m_{2}({\ddot {x}}_{2}-g)\right)\delta x_{1}=0$

Como $\delta x_{1}$ es arbitrario, el coeficiente debe anularse:

$m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)-m_{2}({\ddot {x}}_{2}-g)=0$

Por otro lado, del mismo vínculo tenemos

$a_{1}={\ddot {x}}_{1}=-{\ddot {x}}_{2}$

y por tanto

$m_{1}(a_{1}-g)-m_{2}(-a_{1}-g)=0\qquad \Rightarrow \qquad a_{1}={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g$

 

El plano inclinado

Consideremos ahora el caso de una partícula que desciende sin rozamiento por un plano inclinado de base $b$ y altura $h$. ¿Cuánto vale su aceleración?

Tomamos un sistema de ejes en el que el Y es el vertical hacia arriba y el X es horizontal.

La ecuación fundamental se lee ahora

$m{\ddot {x}}\,\delta x+m\left({\ddot {y}}+g\right)\delta y=0$

siendo la ecuación del vínculo

${\frac {x}{b}}+{\frac {y}{h}}=1\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {\delta x}{b}}+{\frac {\delta y}{h}}=0$

Despejamos y sustituimos, llegando a

$-{\frac {b}{h}}{\ddot {x}}+{\ddot {y}}-g=0$

Como además, por la misma ecuación del vínculo,

${\ddot {x}}=-{\frac {b}{h}}{\ddot {y}}$

llegamos a

${\ddot {y}}=-{\frac {h^{2}}{h^{2}+b^{2}}}g\qquad \qquad {\ddot {x}}={\frac {bh}{h^{2}+b^{2}}}g$

Este puede no parecer el conocido resultado del plano inclinado, pero si hallamos el módulo de esta aceleración queda

$\left|{\vec {a}}\right|={\sqrt {{\ddot {x}}^{2}+{\ddot {y}}^{2}}}={\frac {h}{\sqrt {b^{2}+h^{2}}}}g=g\,\mathrm {sen} (\beta )$

 

El péndulo simple

Los dos ejemplos anteriores pueden dar la impresión de que el principio de D'Alembert proporciona en general las ecuaciones de movimiento en forma sencilla. No es así.

Consideremos el caso de un péndulo simple en el que una masa $m$ pende de un punto fijo a través de un hilo ideal de longitud $\ell$. La única fuerza aplicada sobre la masa es el peso, que actúa en la dirección vertical. Por tanto, la ecuación fundamental de la dinámica se escribe

$m{\ddot {x}}\,\delta x+(m{\ddot {y}}+mg)\,\delta y=0$

sujeta al vínculo

$x^{2}+y^{2}=\ell ^{2}\,$

Diferenciando aquí queda la forma pfaffiana

$x\,\delta x+y\,\delta y=0$

Si en la ecuación fundamental multiplicamos por x y sustituimos esto llegamos a

$-{\ddot {x}}y+({\ddot {y}}+g)x=0$

Esto no es un gran avance, ya que siguen apareciendo las dos coordenadas. Para poder resolver el sistema podemos despejar una de las coordenadas en función de la otra y sustituir. Esto nos lleva a

${\ddot {x}}=-{\frac {gx{\sqrt {\ell ^{2}-x^{2}}}}{\ell ^{2}}}-{\frac {x{\dot {x}}^{2}}{(\ell ^{2}-x^{2})}}$

que no es desde luego la forma más sencilla de escribir la ecuación del péndulo. Podemos plantearnos, ¿por qué no usar el ángulo θ en lugar de las coordenadas cartesianas? Efectivamente eso simplifica el problema y es parte de la formulación más amplia en términos de coordenadas generalizadas.

Fuerzas de reacción vincular

El principio de D'Alembert nos permite eliminar las fuerzas de reacción de las ecuaciones de movimiento. No obstante, hay ocasiones en que se hace preciso incluirlas y hallar su valor.

• Una razón puede ser que necesitemos calcular su magnitud, ya que de ella depende la resistencia de un mecanismo.
• Otra posibilidad es que haya vínculos unilaterales que requieran analizar cuándo la fuerza de reacción cambia de sentido, momento en el que se rompe el vínculo.
• Otra razón podría ser el sistema de las ecuaciones de movimiento se simplifique añadiendo una incógnita adicional que, aunque aumenta el número de incógnitas, produce ecuaciones más simples.

El procedimiento para incluir las fuerzas de reacción es lo que se llama desvincular el sistema. Sustituimos un vínculo por la fuerza que produce el mismo efecto (considerada ahora como una fuerza aplicada), lo que supone una incógnita adicional. Al hacer esto uno más de los diferenciales puede variar arbitrariamente, lo que proporciona una ecuación suplementaria.

Ahora bien, una fuerza tendrá componentes en varias direcciones, y por tanto aparecerá en los diferentes sumandos del principio de D'Alembert. ¿Cómo la introducimos sin que esto suponga incorporar 3N incógnitas?

La clave es que conocemos su dirección. Recordando el caso de la superficie inmóvil tenemos que al vínculo geométrico

$f(x_{i},t)=0\,$

le corresponde la forma pfaffiana para los desplazamientos virtuales

$\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,\delta x_{i}=0$

Los coeficientes son las componentes del gradiente, que es un vector normal a la superficie. La fuerza de reacción, que es también ortogonal a la misma superficie debe ser proporcional a este vector y por tanto sus componentes verifican

$F_{i}^{n}=\lambda {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$

siendo $\lambda$ un factor de proporcionalidad que es la nueva incógnita del problema. A esta cantidad se la denomina un multiplicador de Lagrange.

Los multiplicadores de Lagrange no son constantes, sino que serán funciones del tiempo, según el estado dinámico del sistema.

Más en general, si tenemos el vínculo

$\sum _{i}A_{i}\,\mathrm {d} x_{i}+A_{0}\,\mathrm {d} t=0$

la fuerza de reacción vincular tendrá las componentes

$F_{i}^{n}=\lambda A_{i}\,$

Si desvinculamos una o varias fuerzas, la ecuación fundamental de la dinámica quedará en la forma

$\sum _{i}\left(m_{i}{\ddot {x_{i}}}-F_{i}-\sum _{j}\lambda _{j}A_{ji}\right)\,\delta x_{i}=0$

donde la suma en j es sobre todos aquellas ligaduras que desvinculemos. No es necesario que desvinculemos las r ligaduras. En ese caso recuperaríamos el problema original de la mecánica vectorial. Podemos desvincular una sola ligadura, o varias, o primero una y después otra (esto simplifica el cálculo de las fuerzas de reacción una a una).

Esta ecuación se cumple ya que los términos que hemos añadido se anulan, ya que son proporcionales a las ecuaciones de los vínculos. A la inversa, podríamos haber empezado por ver cómo desvincular a base de añadir al principio de D'Alembert una combinación lineal de las ecuaciones de vínculo y posteriormente establecer la relación de los multiplicadores de Lagrange con las fuerzas de reacción vincular.

Máquina de Atwood

Si deseamos hallar la tensión del hilo debemos desvincular la relación

$x_{1}+x_{2}=\ell \quad \Rightarrow \qquad \delta x_{1}+\delta x_{2}=0\qquad \Rightarrow \qquad F_{1}^{n}=\lambda \qquad \qquad F_{2}^{n}=\lambda$

Vemos que la tensión es la misma para las dos masas. Llevamos esto a la ecuación de D'Alembert

$(m_{1}{\ddot {x}}_{1}-m_{1}g-\lambda )\delta x_{1}+(m_{2}{\ddot {x}}_{2}-m_{2}g-\lambda )\delta x_{2}=0$

Al desaparecer el vínculo ambos diferenciales son independientes, por lo que los coeficientes deben anularse por separado

$m_{1}{\ddot {x}}_{1}-m_{1}g-\lambda =0\qquad \qquad m_{2}{\ddot {x}}_{2}-m_{2}g-\lambda =0$

Dado que ya conocemos la aceleración, de cualquiera de estas dos ecuaciones podemos hallar el multiplicador de Lagrange (el resultado, lógicamente, debe ser el mismo).

$\lambda =m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)=-{\frac {2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g$

Esta es la tensión de la cuerda que sujeta a ambas masas.

 

Plano inclinado

De manera similar podemos hallar la reacción del plano inclinado sobre el que desliza una masa. En este caso el vínculo da

${\frac {x}{b}}+{\frac {y}{h}}=1\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {\delta x}{b}}+{\frac {\delta y}{h}}=0\qquad \Rightarrow \qquad F_{x}={\frac {\lambda }{b}}\qquad F_{y}={\frac {\lambda }{h}}$

Llevándolo al principio de D'Alembert obtenemos las ecuaciones

$m{\ddot {x}}-{\frac {\lambda }{b}}=0\qquad \qquad m{\ddot {y}}+mg-{\frac {\lambda }{h}}=0$

lo que nos da

$\lambda ={\frac {mb^{2}h}{h^{2}+b^{2}}}g\qquad \qquad F_{x}^{n}={\frac {mbh}{h^{2}+b^{2}}}g\qquad \qquad F_{y}={\frac {mb^{2}}{h^{2}+b^{2}}}g$

siendo el módulo de esta fuerza

$|{\vec {F}}|={\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}=mg{\frac {b}{\sqrt {b^{2}+h^{2}}}}=mg\cos(\beta )$

El estudio del signo de los multiplicadores de Lagrange es esencial en el caso de vínculos unilaterales. En el caso de una ligadura de este tipo la fuerza de reacción solo puede ir en un sentido, por lo cual la determinación de los instantes en que se anula el multiplicador permite saber en qué momento deja de cumplirse el vínculo y comienza un nuevo problema dinámico cuyas condiciones iniciales son las finales del estado anterior.

Principio de los trabajos virtuales

Cuando tratamos con una situación estática todas las aceleraciones son nulas y el principio de D'Alembert se reduce al principio de los trabajos virtuales

$\sum _{i}F_{i}^{a}\delta x_{i}=0\,$

que nos dice que el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas se anula como consecuencia de que se anule el de las fuerzas de reacción vincular.

Al tratar con situaciones estáticas el concepto de desplazamiento virtual es aun más sutil que en dinámica, ya que si es estático no hay movimiento alguno. Debemos imaginar de qué forma podría moverse el sistema si se rompiera un vínculo.

A partir del principio de los trabajos virtuales puede determinarse las posiciones de equilibrio, buscando donde se anulan los diferentes coeficientes ya sin tener en cuenta las fuerzas de reacción.

Una vez determinadas las posiciones de equilibrio, pueden calcularse las fuerzas de reacción vincular con ayuda de los multiplicadores de lagrange. la ventaja respecto al análisis en mecánica vectorial es que pueden calcularse las fuerzas una a una, suponiendo desvinculaciones individuales.