Conservación en un oscilador armónico tridimensional

Enunciado

Una partícula de masa $m=0.50\,\mathrm {kg}$ se encuentra sometida exclusivamente a una fuerza que satisface la ley de Hooke

${\vec {F}}=-k{\vec {r}}\qquad \qquad k=2.00\,\mathrm {N} /\mathrm {m}$

siendo su posición y velocidad iniciales

${\vec {r}}_{0}=(-12.0\,{\vec {\imath }}+11.0{\vec {\jmath }})\,\mathrm {m} \qquad \qquad {\vec {v}}_{0}=(-8.0{\vec {\imath }}+24.0\,{\vec {\jmath }})\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

1. Calcule el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas
2. Halle la energía mecánica de la partícula
3. Determine las distancias máxima y mínima a las que pasa del origen, así como la rapidez mínima que alcanza

Momento cinético

El momento cinético de la partícula es una constante de movimiento, por tratarse de una fuerza central, ya que el momento de la fuerza se anula

${\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}_{O}}{\mathrm {d} t}}={\vec {M}}_{O}={\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {r}}\times (-k{\vec {r}})={\vec {0}}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {L}}_{0}=\mathrm {cte}$

Su valor lo obtenemos a partir de la posición y la velocidad iniciales

${\vec {L}}_{O}=m{\vec {r}}\times {\vec {v}}=m{\vec {r}}_{0}\times {\vec {v}}_{0}=0.50\,\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-12.0&11.0&0.0\\-8.0&24.0&0.0\end{matrix}}\right|{\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} }}=\left(-100.0\,{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} }}$

El que el momento cinético sea constante y vaya en la dirección del eje Z implica que la partícula describe un movimiento plano sobre el plano XY.

Energía mecánica

La energía mecánica es suma de la cinética más la potencial.

$E=K+U={\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}|^{2}+{\frac {1}{2}}k|{\vec {r}}|^{2}$

Esta cantidad también es constante, por tratarse de una fuerza conservativa. Su valor lo obtenemos de nuevo a partir de las condiciones iniciales.

$E={\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{0}|^{2}+{\frac {1}{2}}k|{\vec {r}}_{0}|^{2}=\left({\frac {0.5}{2}}((-8.0)^{2}+24^{2})+{\frac {2.00}{2}}((-12)^{2}+11^{2})\right)\mathrm {J} =425.0\mathrm {J}$

Distancias y velocidades extremas

En su movimiento, la partícula describe una elipse, alcanzando una distancia máxima y una mínima respecto al centro (lo que se denominan semieje mayor y menor de la elipse). Para hallar esta distancia no nos basta con la ley de conservación de la energía, pues tenemos dos incógnitas para cada punto: la posición y la rapidez. Podemos afirmar que, en cada punto

${\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}|^{2}+{\frac {1}{2}}k|{\vec {v}}|^{2}=E=\mathrm {cte}$

y puesto que esta suma es constante, cuando la distancia sea mínima tendremos rapidez máxima y viceversa. Si llamamos $r$ y $R$ a las distancias extremas y v y V a la rapidez mínima y máxima se cumplirá

${\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}kR^{2}=E\qquad \qquad {\frac {1}{2}}mV^{2}+{\frac {1}{2}}kr^{2}=E$

Sustituyendo los valores numéricos en el SI

$0.25v^{2}+R^{2}=425.0\qquad \qquad 0.25V^{2}+r^{2}=425.0$

Tenemos dos ecuaciones y cuatro incógnitas.

La ecuaciones que faltan las obtenemos de la conservación del momento cinético.

En un punto de distancia máxima (o mínima) al origen la velocidad es perpendicular al vector de posición. Para verlo consideramos que si la distancia es máxima, su derivada es nula, por lo que

$0={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left(|{\vec {r}}|^{2}\right)={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\right)=2{\vec {r}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=2{\vec {r}}\cdot {\vec {v}}$

El que sean vectores ortogonales en estos puntos simplifica la expresión del momento cinético ya que

$|{\vec {L}}_{O}|=m|{\vec {r}}||{\vec {v}}|\overbrace {|\mathrm {sen} (\alpha )|} ^{=1}=mrV=mRv$

Nos quedan entonces las dos ecuaciones

$mrV=|{\vec {L}}_{O}|\qquad \qquad mRv=|{\vec {L}}_{O}|$

en forma numérica, en el SI,

$0.50rV=100.0\qquad 0.25Rv=100.0\,$

Tenemos dos sistemas de dos ecuaciones

$\left\{{\begin{array}{rcl}\displaystyle 0.25v^{2}+R^{2}&=&425.0\\&&\\Rv&=&200.0\end{array}}\right.\qquad \qquad \left\{{\begin{array}{rcl}\displaystyle 0.25V^{2}+r^{2}&=&425.0\\&&\\rV&=&200.0\end{array}}\right.$

Los dos sistemas son idénticos, por lo que resolviendo uno de ellos ya obtenemos las dos soluciones. Despejando y sustituyendo

$0.25\left({\frac {200.0}{R}}\right)^{2}+R^{2}=425.0\qquad \Rightarrow \qquad R^{4}-425.0R^{2}+10000.0=0.0\qquad \Rightarrow \qquad \left\{{\begin{array}{rcl}r&=&5.0\,\mathrm {m} \\R&=&20.0\,\mathrm {m} \end{array}}\right.$

Una vez que tenemos las distancias hallamos las velocidades correspondientes

$V={\frac {200.0}{r}}=40.0\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\qquad \qquad v={\frac {200.0}{R}}=10\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

La partícula describe por tanto una elipse de semieje menor 5.0 m (donde la rapidez es de 40.0 m/s) y semieje mayor 20.0 m (para el cual la rapidez es de 10.0 m/s).