Dos barras articuladas (GIOI)

Enunciado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma longitud h situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante Ω respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular 2Ω.

1. En el instante $t=0$ el sistema está completamente extendido a lo largo del eje $OX$. Para este instante
   1. Calcule la velocidad del punto de articulación A y del extremo libre B de la segunda barra.
   2. Localice la posición del centro instantáneo de rotación del movimiento de la segunda barra respecto a los ejes fijos.
   3. Halle la aceleración de A y de B.
2. Considere ahora el instante $t=\pi /\Omega$. Para este instante
   1. Determine la posición del extremo B así como la velocidad de este punto en ese instante.
   2. Determine la posición del CIR de la barra AB en ese momento.
   3. Halle la aceleración de A y la de B en ese instante.
3. Calcule la posición del CIR de la barra AB para cualquier instante t.

Para el instante t = 0

En el instante inicial

${\overrightarrow {OA}}=h{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\overrightarrow {AB}}=h{\vec {\imath }}$

Velocidad de A

El punto A es parte de un sólido que efectúa una rotación alrededor de un eje por O, por lo que

${\vec {v}}_{A}=\omega _{1}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {OA}}=\Omega {\vec {k}}\times (h{\vec {\imath }})=\Omega h{\vec {\jmath }}$

Velocidad de B

B es parte d eun segundo sólido, al cual también pertenece A. Este sólido gira con una velocidad angular diferente y no alrededor de O. Por ello,

${\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+\omega _{2}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {AB}}=(\Omega h){\vec {\jmath }}+(2\Omega ){\vec {k}}\times (h{\vec {\imath }})=3\Omega h{\vec {\jmath }}$

Centro instantáneo de rotación

Una vez que tenemos la velocidad de un punto, A, y la velocidad angular, 2Ω, podemos hallar la posición del CIR respecto a este punto.

${\overrightarrow {AI}}={\frac {{\vec {k}}\times {\vec {v}}_{A}}{\omega }}={\frac {{\vec {k}}\times (\Omega h{\vec {\jmath }})}{2\Omega }}=-{\frac {h}{2}}{\vec {\imath }}$

Esta es la posición respecto al punto A. Respecto al origen de coordenadas será

${\overrightarrow {OI}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AI}}=h{\vec {\imath }}-{\frac {h}{2}}{\vec {\imath }}={\frac {h}{2}}{\vec {\imath }}$

Es decir, el CIR de la segunda barra se encuentra en el punto medio de la primera. Esto se puede obtener también gráficamente a partir de las velocidades de A y B.

Aceleración de A

La aceleración de A es la correspondiente a un movimiento circular uniforme alrededor de O, con aceleración angular nula

${\vec {a}}_{A}=\alpha _{1}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {OA}}-\omega _{1}^{2}{\overrightarrow {OA}}=-\Omega ^{2}h{\vec {\imath }}$

Aceleración de B

De manera similar se calcula la aceleración de B, conocida la aceleración de AB

${\vec {a}}_{B}={\vec {a}}_{A}+\alpha _{2}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {AB}}-\omega _{2}^{2}{\overrightarrow {AB}}=-\Omega ^{2}h{\vec {\imath }}-(2\Omega )^{2}(h{\vec {\imath }})=-5\Omega ^{2}h{\vec {\imath }}$

En el instante t = π/Ω

En este instante la varilla OA ha completado media vuelta, mientras que la AB ha dado una vuelta entera. Esto quiere decir que, en este instante

${\overrightarrow {OA}}=-h{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\overrightarrow {AB}}=h{\vec {\imath }}$

Teniendo esto en cuenta, los nuevos resultados son los siguientes.

Velocidad de A

Ahora es la opuesta a la inicial

${\vec {v}}_{A}=\omega _{1}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {OA}}=\Omega {\vec {k}}\times (-h{\vec {\imath }})=-\Omega h{\vec {\jmath }}$

Velocidad de B

Para el punto B resulta

${\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+\omega _{2}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {AB}}=(-\Omega h){\vec {\jmath }}+(2\Omega ){\vec {k}}\times (h{\vec {\imath }})=\Omega h{\vec {\jmath }}$

Centro instantáneo de rotación

Con la velocidad de un punto, A, y la velocidad angular, 2Ω, podemos hallar la nueva posición del CIR respecto a este punto.

${\overrightarrow {AI}}={\frac {{\vec {k}}\times {\vec {v}}_{A}}{\omega }}={\frac {{\vec {k}}\times (-\Omega h{\vec {\jmath }})}{2\Omega }}={\frac {h}{2}}{\vec {\imath }}$

Esta es la posición respecto al punto A. Respecto al origen de coordenadas será

${\overrightarrow {OI}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AI}}=-h{\vec {\imath }}+{\frac {h}{2}}{\vec {\imath }}=-{\frac {h}{2}}{\vec {\imath }}$

Vemos que sigue estando en el centro de la primera barra. esto también se puede ver gráficamente.

Aceleración de A

La aceleración de A es la correspondiente a un movimiento circular uniforme alrededor de O, con aceleración angular nula

${\vec {a}}_{A}=\alpha _{1}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {OA}}-\omega _{1}^{2}{\overrightarrow {OA}}=\Omega ^{2}h{\vec {\imath }}$

Aceleración de B

De manera similar se calcula la aceleración de B, conocida la aceleración de AB

${\vec {a}}_{B}={\vec {a}}_{A}+\alpha _{2}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {AB}}-\omega _{2}^{2}{\overrightarrow {AB}}=\Omega ^{2}h{\vec {\imath }}-(2\Omega )^{2}(h{\vec {\imath }})=-3\Omega ^{2}h{\vec {\imath }}$

CIR en cualquier instante

Si consideramos un sistema de vectores de vectores ligado a la primera barra, de manera que ${\vec {\imath }}_{2}$ apunta a lo largo de la barra y ${\vec {\jmath }}_{2}$ es ortogonal a ella.

En este sistema, la posición de A es, en todo momento

${\overrightarrow {OA}}=h{\vec {\imath }}_{2}$

y su velocidad

${\vec {v}}_{A}=\Omega {\vec {k}}\times (h{\vec {\imath }}_{2})=\Omega h{\vec {\jmath }}_{2}$

A partir de aquí obtenemos la posición del CIR respecto a A

${\overrightarrow {AI}}={\frac {{\vec {k}}\times (\Omega h{\vec {\jmath }}_{2})}{2\Omega }}=-{\frac {h}{2}}{\vec {\imath }}_{2}$

y respecto al origen

${\overrightarrow {OI}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AI}}=h{\vec {\imath }}_{2}-{\frac {h}{2}}{\vec {\imath }}_{2}={\frac {h}{2}}{\vec {\imath }}_{2}$

Vemos que en todo momento se halla en el punto medio de la varilla OA.