Esfera en recipiente cilíndrico

Enunciado

Se tiene un sistema formado por un recipiente cilíndrico (sólido “1”) con fondo pero sin tapa, de radio y altura 2R. En el interior de este recipiente se encuentra una esfera maciza homogénea (“sólido 2”) de masa m y radio R. Esta esfera se mueve de forma que rueda sin deslizar en todo momento sobre el fondo y la pared. El centro de la bola se mueve en todo momento con rapidez constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} alrededor del eje vertical. Tomamos un tercer sistema de referencia intermedio “0”, que gira alrededor del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OZ}_1} =OZ_0 de manera que el centro de la esfera siempre se encuentra en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OX}_0Z_0} . Con ayuda de este sistema determine y exprese:

1. Las velocidades angulares Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}}
2. La posición de los tres ejes instantáneos de rotación (puede ayudarse de la figura)
3. Las aceleraciones angulares Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}}
4. Las aceleraciones lineales de los puntos G (centro de la esfera), A (contacto con el fondo) y B (contacto con la pared) de la esfera 2 respecto al sistema de referencia fijo 1.

Velocidades angulares

Arrastre, {01}

El movimiento del sistema “0&” respecto al 1 es una rotación alrededor del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1=OZ_0} . La velocidad angular es de la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\vec{k}_0}

El valor lo obtenemos de que conocemos la velocidad de G

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^G_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}}

La posición de G en el sistema 0 es, en todo momento,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OG}=R\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0}

Por ello, G es un punto fijo en el movimiento relativo.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^G_{21}=\overbrace{\vec{v}^G_{20}}^{=\vec{0}}+\vec{v}^G_{01}}

por lo que

${\vec {v}}_{01}^{G}=v_{0}{\vec {\jmath }}_{0}$

Esto nos da

$v_{0}{\vec {\jmath }}_{0}=\left(\omega _{01}{\vec {k}}_{0}\right)\times \left(R{\vec {\imath }}_{0}+R{\vec {k}}_{0}\right)=\omega _{01}R{\vec {\jmath }}_{0}$

y

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Absoluta, {21}

Para la absoluta operamos de manera similar. En este caso observamos que puesto que en el punto A y en el B no hay deslizamiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{21}=\vec{v}^B_{21}=\vec{0}}

y, por tanto, el EIR debe pasar por esos dos puntos. La velocidad angular es entonces de la forma

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Aplicamos ahora que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0\vec{\jmath}_0=\vec{v}^G_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG}=\Omega\left(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)\times \left(R\vec{k}_0\right)=-\Omega R\vec{\jmath}_0}

De donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega=-\frac{v_0}{R}\qquad\qquad \vec{\omega}_{21}=-\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)}

Relativa, {20}

Una vez que tenemos la absoluta y la de arrastre, la relativa es inmediata

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}}

lo que da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=-\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right) - \frac{v_0}{R}\vec{k}_0 = -\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+2\vec{k}_0\right)}