Cálculo con valores instantáneos (GIOI)

Enunciado

En $t=0\,\mathrm {s}$ una partícula se halla en el punto ${\vec {r}}=(6{\vec {\imath }}+6{\vec {\jmath }}+3{\vec {k}})\,\mathrm {m}$ siendo su velocidad en ese instante ${\vec {v}}=(3{\vec {\imath }}+6{\vec {\jmath }}+6{\vec {k}})\mathrm {m} /\mathrm {s}$ y su aceleración ${\vec {a}}=(-2{\vec {\imath }}+5{\vec {\jmath }}+14{\vec {k}})\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$ . En ese instante, ¿la partícula está acelerando o frenando? ¿Dónde está el centro de curvatura en ese momento?

Aceleración

Para saber si frena o acelera, debemos calcular el signo de la aceleración tangencial.

El vector tangente es

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {3{\vec {\imath }}+6{\vec {\jmath }}+6{\vec {k}}}{\sqrt {3^{2}+6^{2}+6^{2}}}}={\frac {1}{3}}{\vec {\imath }}+{\frac {2}{3}}{\vec {\jmath }}+{\frac {2}{3}}{\vec {k}}$

y la aceleración tangencial

$a_{t}=-2\left({\frac {1}{3}}\right)+5\left({\frac {2}{3}}\right)+14\left({\frac {2}{3}}\right)=12\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Al ser positiva, la partícula está acelerando.

Centro de curvatura

La posición del centro de curvatura es

${\vec {r}}_{c}={\vec {r}}+R{\vec {N}}$

siendo

$R={\frac {|{\vec {v}}|^{2}}{|{\vec {a}}_{n}|}}\qquad \qquad {\vec {N}}={\frac {{\vec {a}}_{n}}{|{\vec {a}}_{n}|}}$

La aceleración normal vale

${\vec {a}}_{n}={\vec {a}}-{\vec {a}}_{t}=(-2{\vec {\imath }}+5{\vec {\jmath }}+14{\vec {k}})-12\left({\frac {1}{3}}{\vec {\imath }}+{\frac {2}{3}}{\vec {\jmath }}+{\frac {2}{3}}{\vec {k}}\right)=\left(-6{\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}+6{\vec {k}}\right)\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

y su módulo

$|{\vec {a}}_{n}|={\sqrt {6^{2}+3^{2}+6^{2}}}=9\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

lo que da

$R=9\,\mathrm {m} \qquad \qquad {\vec {N}}=-{\frac {2}{3}}{\vec {\imath }}-{\frac {1}{3}}{\vec {\jmath }}+{\frac {2}{3}}{\vec {k}}$

y

${\vec {r}}_{c}=(6{\vec {\imath }}+6{\vec {\jmath }}+3{\vec {k}})+9\left(-{\frac {2}{3}}{\vec {\imath }}-{\frac {1}{3}}{\vec {\jmath }}+{\frac {2}{3}}{\vec {k}}\right)=\left(3{\vec {\jmath }}+9{\vec {k}}\right)\,\mathrm {m}$