Equilibrio de dos cámaras de aire

Enunciado

Se tiene un sistema formado por dos cámaras de aire seco (γ=1.4). La cámara izquierda (subsistema 1) es rígida. La derecha (subsistema 2) está limitada en su lado derecho por un pistón móvil, siendo la presión externa de 100 kPa. Las paredes exteriores y el pistón son adiabáticos. En el estado inicial, las dos cámaras ocupan 1 litro cada una y la presión de ambas es de 100 kPa, siendo la temperatura de la de la derecha 600 K y la de la izquierda 300 K, que también es la temperatura exterior. La pared entre las dos cámaras no es un aislante perfecto, sino que lentamente el calor va pasando de la cámara caliente a la fría.

1. Calcule la temperatura final de cada una de las dos cámaras.
2. Calcule el trabajo neto que entra, el calor neto que entra, la variación de energía interna y de entalpía para cada uno de los dos subsistemas y para el sistema completo.

Temperatura final

Tenemos el equilibrio de dos sistemas contenidos en un recipiente adiabático. Por ello la temperatura final es

$T_{f}={\frac {C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}}{C_{1}+C_{2}}}$

En este caso, la cámara de la izquierda está a volumen constante, por ser rígida, mientras que la derecha está a presión constante, por tener un émbolo móvil. Por tanto

$C_{1}=n_{1}c_{v}\qquad \qquad C_{2}=n_{2}c_{p}$

Podemos hallar los valores de las capacidades caloríficas

$C_{1}=n_{1}c_{V}={\frac {n_{1}R}{\gamma -1}}={\frac {p_{1}V_{1}}{T_{1}(\gamma -1)}}={\frac {100\,\mathrm {kPa} \cdot 1\,\mathrm {L} }{300\,\mathrm {K} (1.4-1)}}=0.833\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$ $C_{2}=n_{2}c_{p}={\frac {\gamma n_{2}R}{\gamma -1}}={\frac {\gamma p_{2}V_{2}}{T_{2}(\gamma -1)}}={\frac {1.4\cdot 100\,\mathrm {kPa} \cdot 1\,\mathrm {L} }{600\,\mathrm {K} (1.4-1)}}=0.583\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$

Esto nos da la temperatura final

$T_{f}={\frac {0.833\cdot 300+0.583\cdot 600}{0.833+0.583}}\mathrm {K} =424\,\mathrm {K}$

Trabajo, calor y energía

Para la cámara 1

Trabajo

Puesto que la cámara 1 es rígida, el trabajo sobre ella es nulo

$W_{1}=0\,$

Variación de energía interna

La variación la obtenemos del incremento de temperaturas y es igual al calor que entra en la cámara por ser el proceso a volumen constante.

$\Delta U_{1}=n_{1}c_{v}(T_{f}-T_{1})=0.833\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}(424-300)\,\mathrm {K} =103\,\mathrm {J}$

Variación de entalpía

La variación de entalpía es proporcional a la variación de la energía interna

$\Delta H_{1}=n_{1}c_{p}\,\Delta T=\gamma n_{1}c_{v}\Delta T=\gamma \,\Delta U=144\,\mathrm {J}$

Calor

El calor, en este caso, coincide con la variación de la energía interna

$Q_{1}=\Delta U_{1}-W_{1}=103\,\mathrm {J}$

Para la cámara 2

Variación de entalpía

La variación de entalpía es igual al calor que entra en la cámara, por ser el proceso a presión constante

$\Delta H_{2}=n_{2}c_{p}\,\Delta T=0.583\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}(424-600)\,\mathrm {K} =-103\,\mathrm {J}$

Calor

El calor, en este caso, coincide con la variación de entalpía

$Q_{2}=\Delta H_{2}=-103\,\mathrm {J}$

Este calor es igual y de signo contrario al que entra en la cámara 1, ya que el calor sale de una cámara y va a la otra.

Variación de energía interna

La variación es proporcional a la variación de entalpía

$\Delta U_{2}=n_{2}c_{v}(T_{f}-T_{2})={\frac {1}{\gamma }}n_{2}c_{p}(T_{f}-T_{2})={\frac {\Delta H_{2}}{\gamma }}=-73.5\,\mathrm {J}$

Trabajo

La cámara 1 está a presión constante por lo que podríamos calcular el trabajo como

$W_{2}=-p_{2}(V_{f}-V_{2})\,$

hallando previamente el volumen final, pero no nos hace falta porque disponemos de funciones de estado

$W_{2}=\Delta U_{2}-Q_{2}=\Delta U_{2}-\Delta H_{2}=+29.4\,\mathrm {J}$

Sistema completo

Para cada una de las magnitudes sumamos los resultados de los dos apartados anteriores:

Variación de energía interna

$\Delta U=\Delta U_{1}+\Delta U_{2}=+29.4\,\mathrm {J}$

Variación de entalpía

$\Delta H=\Delta H_{1}+\Delta H_{2}=+41.2,\mathrm {J}$

Calor

$Q=Q_{1}+Q_{2}=0.0\,\mathrm {J}$

Trabajo

$W=W_{1}+W_{2}=+29.4\,\mathrm {J}$