Cálculo de coeficientes

Enunciado

La densidad del agua, en kg/m³, para valores próximos a una presión de 15.0 MPa y una temperatura de 300℃ (estado del agua en una central nuclear) viene dada por la siguiente tabla:

ρ (kg/m³)	T = 300 ℃	T = 301 ℃
p = 15.0 MPa	725.55	723.46
p = 15.1 MPa	725.75	723.66

1. ¿Cuánto vale, aproximadamente, el coeficiente de dilatación volumétrica, β, a 300℃ y 15.0 MPa?
2. ¿Cuánto vale, aproximadamente, el coeficiente de compresibilidad, $\kappa _{T}$, a 300℃ y 15.0 MPa?

Coeficiente de dilatación

Para obtener el coeficiente de dilatación analizamos cómo varía la densidad con la temperatura

$\beta =-{\frac {1}{\rho }}\,\left({\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right)_{p}\simeq -{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\Delta \rho }{\Delta T}}$

Los incrementos se calculan comparando valores en la misma fila

$\Delta T=301\,^{\circ }\mathrm {C} -300\,^{\circ }\mathrm {C} =1\,^{\circ }\mathrm {C}$ $\Delta \rho =\rho (301\,^{\circ }\mathrm {C} )-\rho (301\,^{\circ }\mathrm {C} )=\left(723.46\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}-725.55\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}\right)=-2.09\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}$

y obtenemos

$\beta =-{\frac {1}{725.55\,{\mathrm {kg} }/{\mathrm {m} ^{3}}}}{\frac {-2.09\,{\mathrm {kg} }/{\mathrm {m} ^{3}}}{1\,\mathrm {K} }}=+2.88\times {10}^{-3}\mathrm {K} ^{-1}$

Coeficiente de compresibilidad

Para este coeficiente operamos de manera similar, pero con las columnas en lugar de las filas

$\kappa ={\frac {1}{\rho }}\,\left({\frac {\partial \rho }{\partial p}}\right)_{T}\simeq -{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\Delta \rho }{\Delta p}}$

siendo los incrementos

$\Delta p=15.1\,\mathrm {Mpa} -15.0\,\mathrm {MPa} =0.1\,\mathrm {MPa} =10^{5}\,\mathrm {Pa}$ $\Delta \rho =\rho (15.1\,\mathrm {Mpa} )-\rho (15.0\,\mathrm {MPa} )=\left(725.75\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}-725.55\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}\right)=0.20\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}$

lo que nos da

$\kappa ={\frac {1}{725.55\,{\mathrm {kg} }/{\mathrm {m} ^{3}}}}{\frac {0.20\,{\mathrm {kg} }/{\mathrm {m} ^{3}}}{10^{5}\mathrm {Pa} }}=+2.76\times 10^{-9}\mathrm {Pa} ^{-1}$