Campo eléctrico central (GIOI)

Enunciado

El campo eléctrico en todos los puntos del espacio viene dado por la expresión

${\vec {E}}=\left\{{\begin{array}{rcc}E_{0}\left({\dfrac {r}{b}}\right)^{2}{\vec {u}}_{r}&&(r<b)\\&&\\E_{0}\left({\dfrac {b}{r}}\right)^{2}{\vec {u}}_{r}&&(r>b)\end{array}}\right.$

1. ¿Cuánto vale la carga total almacenada en el sistema?
2. ¿Cuánto vale la densidad de carga $\rho =\rho (r)$?
3. ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordenadas (tomando como origen de potencial el infinito)?
4. ¿Cuánta energía almacena este sistema?

Carga total

A partir del flujo

Para conocer la carga total poremos aplicar la ley de Gauss

$Q_{\mathrm {int} }=\varepsilon _{0}\oint {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}$

Puesto que queremos hallar la carga total, la superficie de integración debe ser una que contenga toda la carga. Esta superficie es una esfera cuyo radio tiende a infinito. Por tanto

$Q_{T}=\lim _{R\to \infty }\varepsilon _{0}\oint _{r=R}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}$

Sobre una superficie esférica de gran radio

${\vec {E}}=E(r){\vec {u}}_{r}\qquad \mathrm {d} {\vec {S}}=\mathrm {d} S\,{\vec {u}}_{r}\qquad \Rightarrow \qquad \oint {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=E(r)\,\mathrm {d} S$

Puesto que el integrando tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie

$\oint _{r=R}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=\oint _{r=R}E(r)\,\mathrm {d} S=E(R)S=4\pi R^{2}E(R)$

y por tanto la carga total es

$Q_{T}=\lim _{R\to infty}\varepsilon _{0}(4\pi R^{2})E_{0}\left({\frac {b}{R}}\right)^{2}=4\pi \varepsilon _{0}b^{2}E_{0}$

Identificando el campo

Podemos llegar directamente a este resultado observando que para r > b el campo es de la forma

${\vec {E}}={\frac {R_{0}b^{2}}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}$

es decir:

• es radial
• depende solo de la distancia al origen
• va como la inversa del cuadrado de la distancia al origen

Estas propiedades lo identifican como el campo de una carga puntual

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {Q_{T}}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}$

Igualando los coeficientes

$E_{0}b^{2}={\frac {Q_{T}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\qquad \Rightarrow \qquad Q_{T}=4\pi \varepsilon _{0}b^{2}E_{0}$

Densidad de carga

El cálculo general de la densidad de carga requiere operaciones con derivadas parciales (lo que se conoce como la divergencia), pero en el caso de un campo central podemos hacer un cálculo más simple.

Si el campo es central ${\vec {E}}({\vec {r}})=E(r){\vec {u}}_{r}$, la densidad de carga que lo produce depende solo de la distancia al centro, $\rho =\rho (r)$.

Para hallar esta densidad consideramos la diferencia entre el flujo del campo en una esfera de radio r y una de radio r + dr. La diferencia entre ambos es igual a la carga contenida en una superficie esférica de radio r y espesor dr

$\oint _{r+\mathrm {d} r}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}-\oint _{r}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {Q_{\mathrm {int} }(r+\mathrm {d} r)-Q_{\mathrm {int} }(r)}{\varepsilon _{0}}}={\frac {4\pi r^{2}\,\mathrm {d} r\rho }{\varepsilon _{0}}}$

A su vez, por ser un campo central, cada uno de los flujos es de la forma

$\Phi (r)=\oint _{r}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=4\pi r^{2}E(r)$

por lo que nos queda la relación

$\rho (r)={\frac {\varepsilon _{0}}{4\pi r^{2}}}\,{\frac {\Phi (r+\mathrm {d} r)-\Phi (r)}{\mathrm {d} r}}$

Esto no es más que una derivada. Obtenemos entonces

$\rho ={\frac {\varepsilon _{0}}{4\pi r^{2}}}\,{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} r}}={\frac {\varepsilon _{0}}{4\pi r^{2}}}\,{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} r}}\left(4\pi r^{2}E\right)$

y, finalmente,

$\rho (r)={\frac {\varepsilon _{0}}{r^{2}}}\,{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} r}}(r^{2}E)$

Este resultado vale para cualquier campo eléctrico central. Aplicándolo a nuestro caso, queda

• En $r<b$

$E=E_{0}{\frac {r^{2}}{b^{2}}}\qquad \qquad r^{2}E=E_{0}{\frac {r^{4}}{b^{2}}}\qquad \qquad {\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} r}}(r^{2}E)={\frac {4E_{0}r^{3}}{b^{2}}}$

y queda la densidad de carga

$\rho ={\frac {4\varepsilon _{0}E_{0}r}{b^{2}}}\qquad \qquad (r<b)$

• En $r>b$

$E=E_{0}{\frac {b^{2}}{0^{2}}}\qquad \qquad r^{2}E=E_{0}{b^{2}}\qquad \qquad {\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} r}}(r^{2}E)=0$

y queda la densidad de carga

$\rho =0\qquad \qquad (r>b)$

Potencial eléctrico en el origen

Integrando el campo

Dado que tenemos el campo en todos los puntos del espacio, podemos hallar el potencial en el origen integrando desde el infinito a lo largo de un camino radial

$V_{0}=-\int _{\infty }^{0}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=-\int _{\infty }^{b}E_{0}{\frac {E_{0}b^{2}}{r^{2}}}\mathrm {d} r-\int _{b}^{0}{\frac {E_{0}r^{2}}{b^{2}}}\mathrm {d} r=\left.{\frac {E_{0}b^{2}}{r}}\right|_{\infty }^{b}-\left.{\frac {E_{0}r^{3}}{3b^{2}}}\right|_{b}^{0}={\frac {4}{3}}E_{0}b$

Por integración directa

Puesto que conocemos la densidad de carga que crea el campo, podemos hallar el potencial eléctrico en el origen de coordenadas de la misma manera que en el problema “Potencial de distribuciones esféricas”. El resultado es

$V_{O}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{0}^{b}{\frac {4\pi r'^{2}\rho (r')\mathrm {d} r'}{r'}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{b}{\frac {4\varepsilon _{0}E_{0}r'^{2}}{b^{2}}}\mathrm {d} r'={\frac {4E_{0}}{b^{2}}}\,{\frac {b^{3}}{3}}={\frac {4}{3}}E_{0}b$

Energía almacenada

Podemos hallar la energía total almacenada integrando la densidad de energía eléctrica

$u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\vec {E}}\right|^{2}=\left\{{\begin{array}{rcc}{\dfrac {\varepsilon _{0}E_{0}^{2}}{2}}\left({\dfrac {r}{b}}\right)^{4}&&(r<b)\\&&\\{\dfrac {\varepsilon _{0}E_{0}^{2}}{2}}\left({\dfrac {b}{r}}\right)^{4}&&(r>b)\end{array}}\right.$

La energía electrostática es igual al

$U_{e}=\int u_{e}\,\mathrm {d} v$

donde la integral se extiende a todo el espacio. Dividimos éste en capas concéntricas de radio r y espesor dr y queda

$U_{e}=\int _{0}^{b}{\dfrac {\varepsilon _{0}E_{0}^{2}}{2}}\left({\dfrac {r}{b}}\right)^{4}4\pi r^{2}\,\mathrm {d} r+\int _{b}^{\infty }{\dfrac {\varepsilon _{0}E_{0}^{2}}{2}}\left({\dfrac {b}{r}}\right)^{4}4\pi r^{2}\,\mathrm {d} r$

Extraemos todos los factores posibles

$U_{e}={\frac {2\pi \varepsilon _{0}E_{0}^{2}}{b^{4}}}\int _{0}^{b}r^{6}\,\mathrm {d} r+2\pi \varepsilon _{0}E_{0}^{2}b^{4}\int _{b}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}={\frac {16\pi \varepsilon _{0}E_{0}b^{3}}{7}}$