Potencial de distribuciones esféricas

Enunciado

Calcule el potencial eléctrico en el origen de coordenadas para todos los sistemas del problema “Campo de distribuciones esféricas”.

Introducción

El potencial en el origen de coordenadas puede calcularse de dos maneras:

• Integrando el campo eléctrico desde el origen de potencial (el infinito) hasta el origen de coordenadas

$V_{O}=-\int _{\infty }^{0}{\vec {E}}(r)\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=-\int _{\infty }^{0}E(r)\mathrm {d} r$

• Por integración directa

$V_{O}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathrm {d} q}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right|}}=\int {\frac {\mathrm {d} q}{r'}}$

El primer método requeire conocer el campo eléctrico en todos los puntos del espacio, lo que en ocasiones simple, pero en otras requiere muchos más cálculos. El segundo método es preferible si solo queremos el campo en el origen de coordenadas, ya que en ese caso ${\vec {r}}={\vec {0}}$ y la integral se simplifica.

Emplearemos aquí el segundo método. El primero se puede ver, por ejemplo, en el problema “Potencial debido a una superficie esférica”.

Potencial debido a una superficie esférica

Si tenemos una superficie esférica de radio b cargada uniformemente, el valor de $r'$ es igual a b para todas las cargas, por tanto

$V_{O}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{r=b}{\frac {\mathrm {d} q}{b}}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}b}}$

Dos superficies esféricas

Para dos superficies esféricas concéntricas de radios a y b con cargas $\pm Q$, podemos hacer el mismo cálculo sobre las dos superficies, o aplicar el principio de superposición. El resultado es

$V_{O}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q}{a}}-{\frac {Q}{b}}\right)={\frac {Q(b-a)}{4\pi \varepsilon _{0}ab}}$

Otras dos superficies esféricas

Si lo que tenemos son densidades superficiales uniformes, el cálculo es idéntico

$V_{O}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{a}}+{\frac {Q_{2}}{b}}\right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {4\pi a^{2}\sigma _{0}}{a}}-{\frac {4\pi b^{2}\sigma _{0}}{b}}\right)={\frac {\sigma _{0}(a-b)}{\varepsilon _{0}}}$

Una esfera cargada en volumen

En el caso de la esfera cargada en volumen sí es preciso hacer la integral. Dividimos la esfera en campas concéntricas, cada una con una carga

$\mathrm {d} q=\rho _{0}\,\mathrm {d} v'=4\pi \rho _{0}r'^{2}\mathrm {d} r'$

donde $\rho _{0}$ es la densidad de la esfera completa

$\rho _{0}={\frac {Q}{4\pi b^{3}/3}}$

La integral para el potencial se convierte en

$V_{O}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{0}^{b}{\frac {\rho _{0}\,\mathrm {d} v'}{r'}}={\frac {4\pi \rho _{0}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{0}^{b}r'\mathrm {d} r'={\frac {\rho _{0}b^{2}}{2\varepsilon _{0}}}$

Sustituimos aquí la densidad de carga y queda

$V_{O}={\frac {3Q}{8\pi \varepsilon _{0}b}}$

Una esfera con una densidad no uniforme

De manera similar se opera en el caso de la densidad de carga radial. Tenemos que

$V_{O}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{0}^{2b}{\frac {4\pi A(b-r')r'^{2}\mathrm {d} r'}{r'}}={\frac {A}{\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{2b}(br'-r'^{2})\mathrm {d} r'=-{\frac {2Ab^{3}}{3\varepsilon _{0}}}$