Mezcla de tres cantidades de agua

Enunciado

En un recipiente adiabático se mezclan 400 g de agua a 27 ℃, 300 g a 47 ℃ y 100 g a 67 ℃. ¿Cuál es la temperatura final de la mezcla? ¿Cuánto calor entra en cada uno de los tres subsistemas?

Solución

El método para tres cámaras es el mismo que para dos. Si el recipiente es adiabático, la suma de los calores que entran en las tres partes debe ser nula

$Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=0\,$

Sustituimos aquí la expresión del calor para cada partes

$C_{1}(T_{f}-T_{1})+C_{2}(T_{f}-T_{2})+C_{3}(T_{f}-T_{3})=0\,$

Esta es una ecuación de primer grado para la temperatura final, con Solución

$T_{f}={\frac {C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}+C_{3}T_{3}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}}}$

En este caso las tres sustancias son agura, por lo que la capacidad calorífica de cada una se puede escribir como $C_{i}=m_{i}c$ y el calor específico c se puede simplificar, resultando

$T_{f}={\frac {m_{1}T_{1}+m_{2}T_{2}+m_{3}T_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}$

lo que nos da, en este caso

$T_{f}={\frac {0.400\cdot 27+0.300\cdot 27+0.100\cdot 67}{0.400+0.300+0.100}}=39.5\,^{\circ }{}C$

La cantidad de calor que entra en cada parte es

$Q_{1}=C_{1}(T_{f}-T_{1})=0.400\cdot 4.18\cdot (39.5-27)\,\mathrm {kJ} =20.9\,\mathrm {kJ}$

 

$Q_{2}=C_{2}(T_{f}-T_{2})=0.300\cdot 4.18\cdot (39.5-47)\,\mathrm {kJ} =-9.4\,\mathrm {kJ}$

 

$Q_{3}=C_{3}(T_{f}-T_{3})=0.100\cdot 4.18\cdot (39.5-67)\,\mathrm {kJ} =-11.5\,\mathrm {kJ}$