Movimiento circular con aceleraciones relacionadas

Enunciado

Una partícula describe un movimiento circular en el plano XY alrededor del origen de coordenadas de tal forma que en todo instante se cumple la relación entre las componentes intrínsecas escalares de la aceleración:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t + a_n = 0\qquad \forall t}

Inicialmente la partícula se encuentra en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\vec{\imath}} , moviéndose con velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0\vec{\jmath}}

1. Para el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} , halle el vector aceleración, el vector velocidad angular y el vector aceleración angular.
2. Calcule la rapidez de la partícula como función del tiempo.
3. Halle la distancia recorrida, así como el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi} que el vector de posición forma con el eje OX, como función del tiempo

Vectores en la posición inicial

Aceleración

El vector tangente a la trayectoria es el unitario con dirección y sentido los de la velocidad. En el instante inicial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=\frac{v_0\vec{\jmath}}{v_0}=\vec{\jmath}}

En un movimiento circular, el vector normal es el unitario radial y hacia adentro

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=-\frac{\vec{r}}{R}=-\vec{\imath}}

La aceleración normal (escalar) en este instante vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n = \frac{|\vec{v}|^2}{R}=\frac{v_0^2}{R}}

y, por la condición del enunciado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t = -a_n = -\frac{v_0^2}{R}}

Combinando las dos componentes intrínsecas obtenemos el vector aceleración en el instante inicial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=a_t\vec{T}+a_n\vec{N}=-\frac{v_0^2}{R}\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)}

Velocidad angular

En un movimiento circular en el plano XY y alrededor del origen, la velocidad y la aceleración angular van en la dirección del eje Z

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\omega\vec{k}\qquad\qquad \vec{\alpha}=\alpha\vec{k}}

cumpliéndose que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}}

Esto nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0\vec{\jmath}=(\omega\vec{k})\times(R\vec{\imath})=\omega R\vec{\jmath}}

Igualando y despejando

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega=\frac{v_0}{R}\qquad\qquad \vec{\omega}=\frac{v_0}{R}\vec{k}}

Aceleración angular

En un movimiento circular, la aceleración tangencial (vector) cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_t = a_t\vec{T} = \vec{\alpha}\times\vec{r}}

Operando como con la velocidad angular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}=(\alpha\vec{k})\times(R\vec{\imath})=\alpha R\vec{\jmath}}

lo que nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\frac{v_0^2}{R^2}\qquad\qquad \vec{\alpha}=\frac{v_0^2}{R^2}\vec{k}}

Rapidez como función del tiempo

La rapidez del movimiento no es una constante, ya que la aceleración tangencial no es nula. En cada instante se cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}\qquad\qquad a_n = \frac{|\vec{v}|^2}{R}}

Sustituyendo la condición del enunciado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t = -a_n\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t} = -\frac{|\vec{v}|^2}{R}}

Llamando, por simplicidad, v a la rapidez, tenemos que resolver la ecuación diferencial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\frac{v^2}{R}}

Separando los diferenciales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{\mathrm{d}v}{v^2}=\frac{\mathrm{d}t}{R}}

Integramos en cada miembro

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\int_{v_0}^{v}\frac{\mathrm{d}v}{v^2} = \frac{1}{R}\int_0^t\mathrm{d}t}

y queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{v}-\frac{1}{v_0}=\frac{t}{R}}

Despejamos de aquí

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}| = v = \frac{v_0}{1+v_0 t/R}}

Distancia recorrida

La distancia recorrida es la integral de la rapidez

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s = \int_0^t |\vec{v}|\mathrm{d}t = R\ln\left(1+\frac{v_0 t}{R}\right)}

y el ángulo girado es el arco dividido por el radio

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