Comparación de tres procesos

Enunciado

Considere los tres procesos de la figura, con $p_{A}=100\,\mathrm {kPa}$, $V_{A}=4\,\mathrm {L}$ y $p_{B}=300\,\mathrm {kPa}$, $V_{A}=1\,\mathrm {L}$.

1. Para los procesos 1 y 2 calcule independientemente el trabajo y el calor que entran en el sistema en cada uno. ¿Cuánto vale la suma del calor y el trabajo en cada uno de los dos procesos?
2. Para el proceso 3, calcule el trabajo en este proceso y, a partir de este, el calor que entra en el sistema.

Proceso 1

Este proceso se compone de un proceso isobárico entre el estado A y uno que llamaremos D, y uno isocórico entre D y B. Veremos cada uno por separado.

Proceso A→D

Trabajo

Al ser un proceso a presión constante

$W_{A\to D}=-p_{D}(V_{D}-V_{A})=-p_{A}(V_{B}-V_{A})=-100\,\mathrm {kPa} (1-4)\,\mathrm {L} =+300\,\mathrm {J}$

Calor

Por ser a presión constante

$Q_{A\to D}=nc_{p}(T_{D}-T_{A})={\frac {\gamma (p_{D}V_{D}-p_{A}V_{A})}{\gamma -1}}={\frac {\gamma p_{A}(V_{D}-V_{A})}{\gamma -1}}={\frac {1.4}{0.4}}100\,\mathrm {kPa} (1-4)\,\mathrm {L} =-1050\,\mathrm {J}$

Proceso D→B

Trabajo

Al ser un proceso a volumen constante

$W_{D\to B}=0\,\mathrm {J}$

Calor

Por ser a volumen constante

$Q_{D\to B}=nc_{v}(T_{B}-T_{D})={\frac {p_{B}V_{B}-p_{D}V_{D}}{\gamma -1}}={\frac {V_{B}(p_{B}-p_{A})}{\gamma -1}}={\frac {1\,\mathrm {L} (300-100)\,\mathrm {kPa} }{0.4}}=+500\,\mathrm {J}$

Proceso completo

Sumando los dos resultados anteriores

$W_{A\to B}=W_{A\to D}+W_{D\to B}=+300\,\mathrm {J} +0\,\mathrm {J} =+300\,\mathrm {J}$ $Q_{A\to B}=Q_{A\to D}+Q_{D\to B}=-1050\,\mathrm {J} +500\,\mathrm {J} =-550\,\mathrm {J}$

y la suma del calor y el trabajo en este proceso es

$W_{A\to B}+Q_{A\to B}=+300\,\mathrm {J} -550\,\mathrm {J} =-250\,\mathrm {J}$

Proceso 2

Este proceso tiene dos pasos en orden inverso al anterior. Se compone de un proceso isocórico entre el estado A y uno que llamaremos C, y uno isobárico entre D y B. Veremos cada uno por separado.

Proceso A→C

Trabajo

Al ser un proceso a volumen constante

$W_{A\to C}=0\,\mathrm {J}$

Calor

Por ser a volumen constante

$Q_{A\to C}=nc_{v}(T_{C}-T_{A})={\frac {p_{C}V_{C}-p_{A}V_{A}}{\gamma -1}}={\frac {V_{A}(p_{B}-p_{A})}{\gamma -1}}={\frac {4\,\mathrm {L} (300-100)\,\mathrm {kPa} }{0.4}}=+2000\,\mathrm {J}$

Proceso C→B

Trabajo

Al ser un proceso a presión constante

$W_{C\to B}=-p_{B}(V_{B}-V_{C})=-p_{A}(V_{B}-V_{A})=-300\,\mathrm {kPa} (1-4)\,\mathrm {L} =+900\,\mathrm {J}$

Calor

Por ser a presión constante

$Q_{C\to B}=nc_{p}(T_{B}-T_{C})={\frac {\gamma (p_{B}V_{B}-p_{C}V_{C})}{\gamma -1}}={\frac {\gamma p_{B}(V_{B}-V_{A})}{\gamma -1}}={\frac {1.4}{0.4}}300\,\mathrm {kPa} (1-4)\,\mathrm {L} =-3150\,\mathrm {J}$

Proceso completo

Sumando los dos resultados anteriores

$W_{A\to B}=W_{A\to C}+W_{C\to B}=+0\,\mathrm {J} +900\,\mathrm {J} =+900\,\mathrm {J}$ $Q_{A\to B}=Q_{A\to D}+Q_{D\to B}=+2000\,\mathrm {J} -3150\,\mathrm {J} =-1150\,\mathrm {J}$

y la suma del calor y el trabajo en este proceso es

$W_{A\to B}+Q_{A\to B}=+900\,\mathrm {J} -1150\,\mathrm {J} =-250\,\mathrm {J}$

Vemos que el trabajo depende del camino, el calor depende del camino, pero su suma no lo hace, al menos en este ejemplo. Esta es una ley general, conocida como primer principio de la termodinámica.

Esta suma es igual a la diferencia en la energía interna

$Q+W=\Delta U=-250\,\mathrm {J}$

Proceso 3

El proceso 3 no es ni a presión constante ni a volumen constante, por lo que no podemos emplear ninguna de las dos fórmulas anteriores. No obstante, podemos calcular el trabajo empleando el primer principio de la termodinámica

$Q=\Delta U-W\,$

La variación en la energía interna ya la hemos calculado.

$\Delta U=-250\,\mathrm {J}$

El trabajo lo podemos hallar a partir de la integral, igual al área bajo la curva. Este área es la de un trapecio

$W={\frac {p_{A}+p_{B}}{2}}(V_{A}-V_{B})=200\,\mathrm {kPa} (4-1)\mathrm {L} =+600\,\mathrm {J}$

Por tanto

$Q=\Delta U-W=-250\,\mathrm {J} -600\,\mathrm {J} =-850\,\mathrm {J}$