Compresión en varios pasos

Enunciado

Como caso intermedio del problema “Trabajo en una compresión por un peso”, considere el caso de que en lugar de una pesa de 40 N se coloca primero una de 20 N, se deja que se alcance el equilibrio y se coloca luego otra de 20 N. ¿Cuál es el trabajo en ese caso?

Si en vez de dos pesas, se colocan sucesivamente 5 piezas de 8 N cada una, ¿cuál sería el trabajo?

Obtenga la expresión general para el caso de que se coloquen sucesivamente n pesas de peso (40/n)N. Tome el límite n→∞ y compruebe con el caso cuasiestático del problema citado.

En dos pasos

Para la compresión en dos pasos podemos hacer los mismos cálculos que en el problema citado.

Para el primer paso, primero calculamos la presión externa tras la primera pesa. Esta presión coincide con la del gas cuando se vuelve a alcanzar el equilibrio.

$p_{B}=p_{A}+{\frac {mg}{S}}=100\,\mathrm {kPa} +{\frac {20\,\mathrm {N} }{16\,\mathrm {cm} ^{2}}}=112.5\,\mathrm {kPa}$

Ahora calculamos el volumen al final del paso mediante la ley de Boyle

$V_{B}=V_{A}\,{\frac {p_{A}}{p_{B}}}=0.160\,\mathrm {L} {\frac {100}{112.5}}=0.142\,\mathrm {L}$

y hallamos el trabajo en este paso como

$W_{A\to B}=-p_{B}(V_{B}-V_{A})=-112.5(0.142-0.160)\,\mathrm {J} =+2.00\,\mathrm {J}$

E el segundo paso el estado final es

$p_{C}=p_{A}+{\frac {(2m)g}{S}}=125\,\mathrm {kPa} \qquad \qquad V_{C}=V_{A}{\frac {p_{A}}{p_{C}}}=0.128\,\mathrm {L}$

y obtenemos el trabajo

$W_{B\to C}=-125(0.128-0.142)\,\mathrm {J} =+1.78\,\mathrm {J}$

y por tanto el trabajo total en este proceso es de

$W=W_{A\to B}+W_{B\to C}=(+2.00+1.78)\,\mathrm {J} =+3.78\,\mathrm {J}$

que es menor que el de 4J que resulta cuando se coloca solo una pesa.

Caso general

Para 5 pasos el procedimiento sería el mismo, pero la repetición de cálculos aconseja un procedimiento que no requiera tantas operaciones.

Observamos que la ley de Boyle se puede aplicar en la expresión del trabajo en un paso

$W_{C\to D}=-p_{D}(V_{D}-V_{C})=-p_{D}V_{D}+p_{D}V_{C}=-p_{C}V_{C}+p_{D}V_{C}=V_{C}(p_{D}-p_{C})\,$

Con esto calculamos el trabajo empleando el incremento en las presiones, que es conocido, en lugar del incremento de volúmenes, que hay que calcular.

A su vez, el volumen en cada paso se puede relacionar con el volumen al principio del todo usando de nuevo la ley de Boyle

$W_{C\to D}={\frac {p_{A}V_{A}}{p_{C}}}(p_{D}-p_{C})$

Si ahora conocemos la presión al principio del todo, $p_{A}$, al final del todo, $p_{B}$, y el número de pasos, $n$, el incremento de rpesiones en cada paso es el mismo e igual a

$\Delta p={\frac {p_{B}-p_{A}}{n}}$

y la presión al principio de cada paso es

$p(k)=p_{A}+k\,\Delta p=p_{A}+{\frac {k}{n}}(p_{B}-p_{A})$

con lo que el trabajo total en el proceso es

$W=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {p_{A}V_{A}\,\Delta p}{p_{A}+k\Delta p}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {p_{A}V_{A}\,(p_{B}-p_{A})}{np_{A}+k(p_{B}-p_{A})}}$

En nuestro caso los valores numéricos dan

$W=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {400\,\mathrm {J} }{100n+25k}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {16\,\mathrm {J} }{4n+k}}$

Para 1 paso, $n=1$ y k vale solo 0, así que

$W={\frac {16\,\mathrm {J} }{4}}=4\,\mathrm {J}$

Para 2 pasos, $n=2$ y vale 0 y 1

$W={\frac {16\,\mathrm {J} }{8}}+{\frac {16\,\mathrm {J} }{9}}=\left(4+{\frac {16}{9}}\right)\,\mathrm {J} =3.78\,\mathrm {J}$

Vemos que recuperamos los dos casos ya conocidos.

Para $n=5$

$W=\sum _{k=0}^{4}{\frac {16\,\mathrm {J} }{20+k}}=+3.65\,\mathrm {J}$

Con ayuda del ordenador podemos calcular esta suma para más pasos, así tenemos bordeado" |+ Trabajo en una compresión por varias pesas |- ! Número de pesas !! $W(\mathrm {J} )$ |- | 1 || 4.0000 |- | 2 || 3.7778 |- | 5 || 3.6515 |- | 10 || 3.6106 |- | 20 || 3.5904 |- | 50 || 3.5783 |- | 100 || 3.5743 |- | 200 || 3.5723 |- | 500 || 3.5711 |- | 1000 || 3.5707 |}

Vemos que los valores convergen a unos 3.57J, que era el valor que se obtenía considerando la integral para un montón de granos de arena.

Podemos demostrar rigurosamente que esta suma converge a esa integral con un poco de cálculo avanzado. El pasar de una suma a una integral es lo que se denomina el paso al continuo.

Partimos del sumatorio

$W=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {16\,\mathrm {J} }{4n+k}}$

Dividimos numerador y denominador por n

$W=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {16\,\mathrm {J} }{4+(k/n)}}\,{\frac {1}{n}}$

Ahora, si en lugar de sumar variando k, definimos la variable

$x={\frac {k}{n}}$

cuando k varía de 0 a n, esta cantidad varía de 0 a 1. Cuando k pasa de un valor k a k+1, x varía en

$\Delta x={\frac {\Delta k}{n}}={\frac {1}{n}}$

Por tanto el sumatorio se puede escribir como

$W=\sum _{x=0}^{1}{\frac {16\,\mathrm {J} }{4+x}}\,\Delta x$

Cuando $n\to \infty$ el incremento se convierte en un diferencial y la suma en una integral

$W=\int _{0}^{1}{\frac {16\,\mathrm {J} }{4+x}}\,\mathrm {d} x$

con el resultado

$W=16\,\mathrm {J} \ln \left({\frac {5}{4}}\right)=3.5703\,\mathrm {J}$

este es el límite en el que tenmos infinitas pesas microscópicas y el proceso se convierte en cuasiestático.