Máquina de Atwood con resorte

Enunciado

Dos masas A y B, de masas $m_{A}=0.35\,\mathrm {kg}$ y $m_{B}=0.65\,\mathrm {kg}$ están unidas por un hilo ideal (“1”), inextensible y sin masa, que pasa por una polea ideal, sin masa ni rozamiento. La masa A está unida al suelo por un resorte de constante $k=100\,\mathrm {N} /\mathrm {m}$ y longitud natural $\ell _{0}=10\,cm$. La B se mantiene a la misma altura que la primera mediante otro hilo ideal (“2”) de 15 cm de longitud. El sistema está inicialmente en equilibrio.

1. ¿Cuánto vale la tensión de cada hilo?
2. Suponga que se corta el hilo 2.
   1. ¿Cuánto vale la aceleración de cada masa justo tras el corte? ¿Y la tensión del hilo 1?
   2. ¿Cuánto mide la amplitud de las oscilaciones que describen las masas?
   3. ¿Cuál es la frecuencia ω de las oscilaciones que describe el sistema?
   4. Cuando el sistema está oscilando, ¿cuánto vale la tensión mínima del hilo? ¿Puede llegar a destensarse?

Tómese $g=10\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$.

Tensiones

El equilibrio para la masa de la derecha da

$F_{T1}-m_{B}g-F_{T2}=0\,$

y para la de la izquierda

$F_{T1}-m_{A}g-k(\ell -\ell _{0})=0\,$

La fuerza elástica vale, teniendo en cuenta que el muelle mide 15cm

$k(\ell -\ell _{0})=100(0.15-0.10)\,\mathrm {N} =5.0\,\mathrm {N}$

lo que da

$F_{T1}=m_{A}g+k(\ell -\ell _{0})=3.5\,\mathrm {N} +5\,\mathrm {N} =8.5\,\mathrm {N}$

y

$F_{T2}=F_{T1}-m_{B}g=8.5\,\mathrm {N} -6.5\,\mathrm {N} =2.0\,\mathrm {N}$

Situación tras el corte

Una vez que se corta el hilo, las masas comienza a moverse, aunque inicialmente sus posiciones siguen siendo las mismas. Esto quiere decir que, justo tras el corte, la fuerza ejercida por el resorte sigue siendo de 5.0 N. Ese muelle tira de la masa A hacia abajo, lo que hará subir a la B. Por la inextensibilidad del hilo

$a_{A}=-a_{B}\,$

lo que nos da las ecuaciones de movimiento

$-k(\ell -\ell _{0})-m_{A}g+F_{T1}=m_{A}a_{A}\qquad \qquad F_{T1}-m_{B}g=m_{B}a_{B}=-m_{B}a_{A}$

con los valores numéricos

$-8.5+F_{T1}=0.35a_{A}\qquad \qquad F_{T1}-6.5=-0.65a_{B}$

Restando las dos ecuaciones eliminamos la tensión

$-2.0=1.0a_{A}\qquad \Rightarrow \qquad a_{A}=-2.0\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\qquad \qquad a_{B}=+2.0\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

siendo la tensión justo después del corte

$F_{T1}=m_{B}(g+a_{b})=0.65(10+2)=7.8\,\mathrm {N}$

Nótese como el valor de la tensión cambia bruscamente al cortar el otro hilo. No puede suponerse que la tensión es la calculada para la posición inicial.

Amplitud de las oscilaciones

Puesto que las masas parten del reposo, la amplitud de las oscilaciones es la distancia entre la posición inicial, que ya conocemos, y la posición de equilibrio.

En la posición de equilibrio se cumple, para una masa

$F_{T1}-m_{B}g=0\,$

y para la otra

$F_{T1}-m_{A}g-k(\ell _{\mathrm {eq} }-\ell _{0})=0\,$

con valores numéricos

$F_{T1}-6.5=0\,$ $F_{T1}-3.5-100(\ell _{\mathrm {eq} }-0.10)=0\,$

lo que nos da

$\ell _{\mathrm {eq} }=0.10+{\frac {6.5-3.5}{100}}=0.13\,\mathrm {m} =13\,\mathrm {cm}$

Dado que inicialmente, el muelle posee una elongación de 15 cm, la amplitud de las oscilaciones es

$A=15\,\mathrm {cm} -13\,\mathrm {cm} =2\,\mathrm {cm}$

Frecuencia de las oscilaciones

Si consideramos el estado general de movimiento, tenemos las ecuaciones

$-k(\ell -\ell _{0})-m_{A}g+F_{T1}=m_{A}a_{A}\qquad \qquad F_{T1}-m_{B}g=m_{B}a_{B}=-m_{B}a_{A}$

donde ahora $\ell$ es una función del tiempo, como también lo es la tensión del hilo. Si sustituimos los valores numéricos queda

$-100(\ell -0.10)-3.5+F_{T1}=0.35a_{A}\qquad \qquad F_{T1}-6.5=-0.65a_{A}$

Restamos las ecuaciones

$1.0a_{A}=-100\ell +10-3.5+6.5=-100(\ell -0.13)$

Esta es la ecuación de un oscilador armónico, con posición de equilibrio, $\ell _{\mathrm {eq} }=0.13\,\mathrm {m}$ y frecuencia

$\omega ={\sqrt {\frac {100}{1.0}}}=10\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

Valor mínimo de la tensión

Una vez que empieza a oscilar, la longitud del muelle varía como

$\ell =0.13+0.02\cos(10t)\,\qquad \qquad a_{A}=-2.0\cos(10t)$

lo que nos da la tensión en cada instante

$F_{T1}=6.5-0.65a_{A}=6.5+1.3\cos(10t)\,$

Por tanto, la tensión oscila entre su valor máximo inicial de 7.8N a un valor mínimo de 5.2N, no llegando a destensarse nunca. Para otros valores de las masas y longitudes de hilos sí es posible que este valor se haga 0 en cuyo caso el hilo se destensaria.