Velocidad dependiente del tiempo (GIOI)

Enunciado

Una partícula describe un movimiento rectilíneo cuya velocidad, como función del tiempo entre $t=0\,\mathrm {s}$ y $t=10\,\mathrm {s}$ es la parábola de la figura.

1. ¿Cuánto vale, aproximadamente, el desplazamiento neto en el intervalo [0s, 10s]?
2. ¿Cómo es la gráfica de la aceleración de la partícula?
3. ¿En qué intervalos, en s, la partícula está frenando?
4. ¿Cuánto vale, aproximadamente, la rapidez media en el intervalo [0s, 10s]?

Desplazamiento neto

Hallamos primero la ecuación de la velocidad como función del tiempo. Por ser una parábola es de la forma

$v=At^{2}+Bt+C\,$

Como se anula en $t=2$ y $t=8$ (segundos, usamos unidades fundamentales del SI) y en $t=0$ vale -16, queda

$0=4A+2B+C\qquad \qquad 0=64A+8B+C\qquad \qquad -16=C$

Restando

$0=60A+6B\qquad \Rightarrow \qquad B=-10A$

Sustituimos

$0=4A-20A-16\qquad \Rightarrow \qquad A=-1$

Por tanto la parábola es de la forma

$v=-t^{2}+10t-16\,$

Integramos respecto al tiempo para hallar el desplazamiento

$\Delta x=\int _{0}^{10}v\,\mathrm {d} t=-{\frac {1000}{3}}+{\frac {1000}{2}}-160={\frac {-1000+1500-480}{3}}={\frac {20}{3}}=6.67\,\mathrm {m}$

La velocidad media en este intervalo es

$v_{m}={\frac {20/3\,\mathrm {m} }{10\,\mathrm {s} }}=0.67\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Gráfica de la aceleración

La velocidad es una función cuadrática, por lo que la aceleración, su derivada, debe ser una recta. Además, la velocidad es creciente en la primera mitad del intervalo y decreciente en la segunda, por lo que la aceleración debe ser poitiva en la primera mitad y negativa en la segunda. Por ello, su gráfica es la B.

Evidentemente, también puede demostrarse derivando respecto al tiempo la expresión de la velocidad.

$a={\dot {v}}=-2t+10$

Frenado de la partícula

El frenado de la partícula corresponde a que su rapidez esté disminuyendo. Gráficamente esto corresponde a que la curva de la velocidad se esté acercando al eje v=0. Esto ocurre en dos intervalos

• Entre t = 0s y t = 2s.
• Entre t = 5s y t = 8s.

Rapidez media

La rapidez media se calcula como la distancia total recorrida dividida por el intervalo empleado.

La distancia recorrida la calculamos dividiendo el intervalo en tres tramos, según el signo de la velocidad

$\Delta s=\Delta s_{1}+\Delta s_{2}+\Delta s_{3}=|\Delta x_{1}|+|\Delta x_{2}|+|\Delta x_{3}|\,$

• El primer tramo es entre t = 0s y t = 2s, en el que la velocidad es negativa

$\Delta x_{1}=\int _{0}^{2}(-t^{2}+10t-16)\mathrm {d} t=\left.-{\frac {t^{3}}{3}}+5t^{2}+16t\right|_{0}^{2}=-{\frac {44}{3}}\,\mathrm {m} \qquad \Rightarrow \Delta s_{1}=+{\frac {44}{3}}\,\mathrm {m}$

• El segundo entre t=2s y t = 8s, en los que v >0

$\Delta x_{1}=\int _{2}^{8}(-t^{2}+10t-16)\mathrm {d} t=\left.-{\frac {t^{3}}{3}}+5t^{2}+16t\right|_{2}^{8}=+36\,\mathrm {m} \qquad \Rightarrow \Delta s_{1}=+36\,\mathrm {m}$

• El tercero entre t=8s y t = 10s, en los que vuelve a ser negativa

$\Delta x_{1}=\int _{8}^{10}(-t^{2}+10t-16)\mathrm {d} t=\left.-{\frac {t^{3}}{3}}+5t^{2}+16t\right|_{8}^{10}=-{\frac {44}{3}}\,\mathrm {m} \qquad \Rightarrow \Delta s_{1}=+{\frac {44}{3}}\,\mathrm {m}$

Sale lo mismo que en el primero por la simetría de la curva.

Sumando las tres contribuciones tenemos la distancia total recorrida

$\Delta s={\frac {44}{3}}+36+{\frac {44}{3}}={\frac {196}{3}}=65.3\,\mathrm {m}$

y la rapidez media

$|v|_{m}={\frac {196/3\,\mathrm {m} }{10\,\mathrm {s} }}=6.53\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Solución numérica

Este problema puede servir para ilustrar los métodos numéricos aproximados, para lo que conviene tener a mano un programa como Excel.

En lugar de buscar primero la ecuación de la parábola y luego integrar analíticamente, puede calcularse la integral aproximada sustituyendo la curva por una serie de tramos rectos que unen los puntos marcados. La integral, para cada tramo es el área de un trapecio

$\Delta x_{1}\simeq {\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}\Delta t$

En cada uno de los tramos, el intervalo de tiempo es el mismo, un segundo, mientras que las velocidades valen

t (s)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
v (m/s)	-16	-7	0	5	8	9	8	5	0	-7	-16

Esto nos da los sucesivos desplazamientos, calculados en cada caso con la fórmula anterior

Δt (s)	0-1	1-2	2-3	3-4	4-5	5-6	6-7	7-8	8-8	9-10
\Delta x (m)	-11.5	-3.5	+2.5	+1.5	+0.5	+0.5	+1.5	+2.5	-3.5	-11.5
\Delta s (m)	11.5	3.5	2.5	1.5	0.5	0.5	1.5	2.5	3.5	11.5

Sumando todos los desplazamientos, obtenemos un desplazamiento total aproximados

$\Delta x=\sum _{i}\Delta x_{i}=5\,\mathrm {m}$

y una distancia total recorrida

$\Delta s=\sum _{i}\Delta s_{i}=\sum _{i}\left|\Delta x_{i}\right|=65\,\mathrm {m}$