Sistema de 5 condensadores

Enunciado

Se tiene el sistema de 5 condensadores de la figura. Calcule la capacidad equivalente entre los nodos de los extremos A y B.

Introducción

Este sistema no es una asociación simple de condensadores en serie o en paralelo, ya que la presencia del condensador central impide ambas cosas. Por ello, son necesarios otros métodos para hallar la capacidad equivalente.

Sistema de ecuaciones

Lo que debemos hacer es sustituir el sistema por un solo condensador. Para ello, podemos suponer que existe una cierta d.d.p. entre el extremo A y el B. La capacidad equivalente la calculamos como el cociente

$C_{\mathrm {eq} }={\frac {Q_{A}}{V_{A}-V_{B}}}$

siendo $Q_{A}$ la suma de las cargas de las placas conectadas al nodo A, que en este caso nos da

$C_{\mathrm {eq} }={\frac {Q_{1}+Q_{3}}{V_{A}-V_{B}}}$

Tenemos que hallar entonces la carga en cada uno de los condensadores, de estos dos en particular.

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones para las cargas y diferencias de potencial

${\begin{array}{c}Q_{1}=24(V_{A}-V_{D})&\qquad &Q_{2}=20(V_{D}-V_{B})&\qquad &Q_{3}=12(V_{A}-V_{E})\\Q_{4}=30(V_{E}-V_{B})&\qquad &Q_{5}=12(V_{D}-V_{E})&\qquad &\end{array}}$

Estas ecuaciones no son suficientes y necesitamos dos más. Las dos ecuaciones restantes las obtenemos de que la carga total en los conductres D y E es nula ya que, al estar separados del resto por condensadores, es imposible que la carga llegue o se vaya de esos nodos.

Las ecuaciones para la carga en D y en E nos dan

$-Q_{1}+Q_{5}+Q_{2}=0\qquad \qquad -Q_{5}-Q_{3}+Q_{4}=0$

donde hemos tomado todas las polaridades con el positivo a la izquierda y el negativo a la derecha, y en el central con el positivo arriba.

Si sustituimos aquí las cargas en función de los potenciales queda

$-24(V_{A}-V_{D})+12(V_{D}-V_{E})+20(V_{D}-V_{B})=0\qquad \qquad -12(V_{D}-V_{E})-12(V_{A}-V_{E})+30(V_{E}-V_{B})=0$

Si simplificamos aquí obtenemos un sistema de dos ecuaciones para los nodos centrales

${\begin{array}{rcl}14V_{D}-3V_{E}&=&6V_{A}+5V_{B}\\-2v_{D}+9V_{E}&=&2V_{A}+5V_{B}\end{array}}$

con solución

$V_{D}={\frac {1}{2}}V_{A}+{\frac {1}{2}}V_{D}\qquad \qquad V_{E}={\frac {1}{3}}V_{A}+{\frac {2}{3}}V_{B}$

Una vez que tenemos estos voltajes de los nodos centrales podemos hallar las cargas de los condensadores conectados a A

$Q_{1}=24(V_{A}-V_{D})=12(V_{A}-V_{B})\qquad \qquad Q_{3}=12(V_{A}-V_{E})=8(V_{A}-V_{B})$

lo que nos da

$Q_{A}=Q_{1}+Q_{3}=20(V_{A}-V_{B})$

y la capacidad equivalente del conjunto es

$C_{\mathrm {eq} }={\frac {Q_{1}+Q_{3}}{V_{A}-V_{B}}}=20\,\mathrm {nF}$