Ver el código de «Test de la 2ª convocatoria CMR 2017-2018»

==Sistema de partículas==
En un sistema de partículas sometidas exclusivamente a fuerzas internas newtonianas, ¿cuál de las siguientes cantidades no es una constante de movimiento, en general?
:* '''A''' La cantidad de movimiento del sistema.
:* '''B''' El momento cinético respecto al centro de masas del sistema.
:* '''C''' El momento cinético respecto a un punto fijo O.
:* '''D''' La energía mecánica del sistema.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">D<span>'''.

Las leyes para un sistema de partículas son

<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_O</math></center>

con <math>\vec{F}</math> la resultante de las fuerzas externas y <math>\vec{M}_O</math> el moemnto resultante de las fuerzas externas (O es un punto fijo o el CM). Si no hay fuerzas externas, <math>\vec{p}</math>, <math>\vec{L}_O</math> y <math>\vec{L}_G</math>.

La energía mecánica, en cambio, si puede verse afectada por fuerzas internas. Por ejemplo, el rozamiento entre piezas de un mecanismo frena estos.
==Oscilador sobreamortiguado==
Un oscilador armónico sobreamortiguado tiene la masa inicialmente en la posición de equilibrio. En ese momento se le comunica una velocidad inicial v_0. ¿Cómo es el movimiento de la masa?
:* '''A''' Inicialmente se aleja hasta una distancia máxima y luego retorna a la posición inicial de forma más lenta que si el amortiguador fuera crítico.
:* '''B''' Se va alejando cada vez más lentamente hasta detenerse (tras un tiempo infinito) a una cierta distancia de la posición inicial.
:* '''C''' Describe un movimiento oscilatorio en el que la amplitud va decayendo exponencialmente con el tiempo.
:* '''D''' Inicialmente se aleja hasta una distancia máxima y luego retorna a la posición inicial de forma más rápida que si el amortiguador fuera crítico.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">A<span>'''.


Tal como se ve en [[Oscilaciones_amortiguadas_y_forzadas_(CMR)#Caso_sobreamortiguado_.28.CE.B2_.3E_.CF.890.29|teoría]] el comportamiento de un oscilador sobreamortiguado es de la forma

<center>[[Archivo:Exponenciales-03.png]]</center>

==Sistema de fuerzas==
Sobre un sólido actúan simultáneamente tres fuerzas: <math>\vec{F}_A=\vec{\imath}+3\vec{\jmath}-2\vec{k}</math> aplicada en A(2,1,0), <math>\vec{F}_B=\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}</math> aplicada en B(1,0,0) y <math>\vec{F}_C=-2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}</math> aplicada en C(0,-2,1) (fuerzas en N, posiciones en m). ¿A qué se reduce este sistema de fuerzas?
:* '''A''' Es un sistema nulo.
:* '''B''' Un par de fuerzas.
:* '''C''' Una fuerza única.
:* '''D''' Un tornillo.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">A<span>'''.

No hay más que calcular la resultante

<center><math>\vec{F}=\vec{F}_A+\vec{F}_B+\vec{F}_C=\vec{0}</math></center>

y el momento resultante

<center><math>\vec{M}_O=\overrightarrow{OA}\times\vec{F}_A+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_B+\overrightarrow{OC}\times\vec{F}_C=\vec{0}</math></center>

==Rotación de un sólido==
Un sólido rígido describe un movimiento tal que en un instante dado su velocidad angular es <math>\vec{\omega}=2\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}</math> (rad/s) y la velocidad del punto A(2,1,2) (m) es <math>\vec{v}_A=b\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+4\vec{k}</math> (m/s). 
===Pregunta 1===
¿Cuánto debe valer la cantidad b si se sabe que el movimiento instantáneo es de rotación?
:* '''A''' 4 m/s.
:* '''B''' &minus;5 m/s.
:* '''C''' &minus;3 m/s.
:* '''D''' no hay suficiente información para saberlo.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">B<span>'''.

La velocidad de cada punto debe ser ortogonal a la velocidad angular

<center><math>0=\vec{\omega}\cdot\vec{v}_A=2b+2+8\qquad\Rightarrow\qquad b=-5</math></center>
===Pregunta 2===
Para el movimiento anterior, ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al EIR?
:* '''A''' B(2,-1,1)
:* '''B''' C(1,3,-1)
:* '''C''' O(0,0,0)
:* '''D''' D(4,-2,-3)
;Solución:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">A<span>'''.

En una rotación los puntos del eje cumplen

<center><math>\vec{0}=\vec{v}_P=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AP}</math></center>

Probando con los distintos puntos, a la primera sale que <math>\vec{v}_B=\vec{0}</math>.

==Juntas acopladas==
Se tiene una unión formada por dos juntas Cardán de dos ejes puestas consecutivamente. ¿Cuántos grados de libertad tiene el último sólido respecto al primero?
<center>[[Archivo:juntas-cardan-acopladas.png]]</center>
:* '''A''' 2.
:* '''B''' 3.
:* '''C''' 4.
:* '''D''' 6.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.

Una [[Contacto_entre_s%C3%B3lidos_(CMR)#Combinaciones_de_pares._Junta_card.C3.A1n|junta Cardán]] de dos ejes tiene dos grados de libertad. Una sucesión de dos juntas tiene 2&times;2 = 4 grados de libertad. Bloqueando una de ellas se consiguen dos rotaciones y moviéndolas a la vez resultan dos traslaciones.

==Desplazamientos virtuales==
Una partícula está ensartada en una varilla horizontal que pasa por el origen de coordenadas. Esta varilla gira con velocidad angular Ω constante alrededor del origen. Si (x,y) son las coordenadas de la partícula, ¿qué vinculo cumplen los desplazamientos virtuales de estas coordenadas (aquí S = sen⁡(Ωt), C = cos⁡(Ωt)?
:* '''A''' 2.	-xS+yC=0
:* '''B''' 2.-S dx+C dy-Ω(xC+yS) dt=0
:* '''C''' 2.-S δx+C δy=0
:* '''D''' 2.-S δx+C δy-Ω(xC+yS) δt=0

;Solución:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.

Los [[Principio_de_D%27Alembert_(CMR)#Desplazamientos_posibles_y_desplazamientos_virtuales|desplazamientos virtuales]] cumplen la ecuación del vínculo supuesto éste congelado en el tiempo. En la práctica, ello implica una relación entre diferenciales en la que no aparece el término en dt o &delta;t. Solo la opción C cumple esto.

==Constante de movimiento==
La lagrangiana de un sistema tiene la forma, en unidades adecuadas
<center>
<math>
\mathcal{L}
=
\frac{m}{2}\left(\left(\rho_0-a_0t\right)^2+
	\left(\rho-\frac{1}{2}a_0t^2\right)\dot{\theta}^2\right)
-\frac{k\rho^2}{2}</math>
</center>
¿Cuál de las siguientes cantidades es una constante de movimiento (o integral primera) de este sistema?
:* '''A''' <math>m\left(\rho-a_0t^2/2\right)\dot{\theta}^2</math>
:* '''B''' <math>m\left(\rho-a_0t^2/2\right)^2\dot{\theta}</math>̇
:* '''C''' <math>m\left(\left(\rho_0-a_0t\right)^2+\left(\rho-a_0t^2/2\right)\dot{\theta}^2\right)/2-k\rho^2/{2}</math>
:* '''D''' <math>m\left(\left(\rho_0-a_0t\right)^2+\left(\rho-a_0t^2/2\right)\dot{\theta}^2\right)/2+k\rho^2/{2}</math>

;Solución:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">B<span>'''.

La energía no se conserva porque la lagrangiana depende del tiempo.

La coordenada &theta; es [[Leyes_de_conservaci%C3%B3n_en_mec%C3%A1nica_anal%C3%ADtica_(CMR)#Coordenadas_c.C3.ADclicas|cíclica]] (no aparece en la lagrangiana), por tanto su momento conjugado es una constante de movimiento.

<center><math>p_\theta=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}=m\left(\rho-a_0t^2/2\right)^2\dot{\theta}</math></center>
==Percusión en barra articulada==
Una varilla homogénea de masa m y longitud b está situada horizontalmente en un plano sobre el que puede moverse sin rozamiento. Uno de sus extremos se halla articulado en el punto O. Estando inicialmente en reposo con el otro extremo A en <math>+b\vec{\imath}</math>, se le aplica una percusión <math>\vec{P}_A=((3/5) \vec{\imath}+(4/5) \vec{\jmath}) P_A</math> en dicho extremo

'''Dato:''' Momento de inercia de una varilla alrededor de un eje perpendicular a ella que pasa por su extremo: I=mb^2 /3

===Pregunta 1===
¿Cuánto vale la velocidad angular de la varilla justo tras la percusión?
:* '''A''' <math>\vec{\omega}=((12/5) P_A /mb) \vec{k}</math>.
:* '''B''' <math>\vec{\omega}=((9/5) P_A /mb) \vec{\jmath}</math>.
:* '''C''' <math>\vec{\omega}=(3P_A /mb) \vec{k}</math>.
:* '''D''' <math>\vec{\omega}=((9/5) P_A /mb) \vec{k}</math>.

;Solución:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">A<span>'''.

Como en [[Percusi%C3%B3n_sobre_una_barra_(CMR)|otro problema]] se cumple que, al estar articulada la barra en O

<center><math>\Delta \vec{L}_O=\overrightarrow{OA}\times\vec{P}_A=\left(b\vec{\imath}\right)\times\left(\frac{3}{5} \vec{\imath}+\frac{4}{5} \vec{\jmath}\right) P_A=\frac{4}{5}bP_A\vec{k}</math></center>

Puesto que inicialmente está en reposo

<center><math>\Delta \vec{L}_O=I_O\vec{\omega}=\frac{1}{3}mb^2\vec{\omega}</math></center>

Igualando

<center><math>\frac{1}{3}mb^2\vec{\omega}=\frac{4}{5}bP_A\vec{k}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}=\frac{12}{5mb}P_A\vec{k}</math></center>

===Pregunta 2===
¿Cuánto vale la percusión de reacción que se produce en el punto O?
:* '''A''' <math>\vec{P}_O=(-(3/5) \vec{\imath}-(4/5) \vec{\jmath}) P_A</math>.
:* '''B''' <math>\vec{P}_O=((6/5) \vec{\jmath}) P_A</math>.
:* '''C''' <math>\vec{P}_O=(-(3/5) \vec{\imath}+(2/5) \vec{\jmath}) P_A</math>.
:* '''D''' <math>\vec{P}_O=\vec{0}</math>.

;Solución:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.

Una vez que tenemos la velocidad angular, hallamos la percusión de reacción de

<center><math>\Delta(m\vec{v}_G)=\vec{P}_A+\vec{P}_O\qquad\Rightarrow\qquad \vec{P}_O=-\vec{P}_A+m\vec{v}_G</math></center>

siendo la velocidad del CM

<center><math>\vec{v}_G=\vec{\omega}\times \overrightarrow{OG}=\left(\frac{12}{5mb}P_A\vec{k}\right)\times \left(\frac{b}{2}\vec{\imath}\right)= \frac{6}{5m}P_A\vec{\jmath}</math></center>

lo que da

<center><math>\vec{P}_O=\left(-\frac{3}{5} \vec{\imath}-\frac{4}{5} \vec{\jmath}\right)+\frac{6}{5}P_A\vec{\jmath}=-\frac{3}{5} \vec{\imath}+\frac{2}{5} \vec{\jmath}</math></center>

==Movimiento respecto a plataforma==
Una plataforma horizontal “2” gira con velocidad angular constante <math>(4\mathrm{rad}/\mathrm{s}) \vec{k}_1</math> alrededor del eje OZ un sistema exterior fijo “1”. Un pájaro “3” que vuela con velocidad constante <math>(2\mathrm{m}/\mathrm{s}) \vec{\jmath}_1</math> pasa por el punto A situado en <math>(0.5\mathrm{m}) \vec{\imath}_1</math>. 

<center>[[Archivo:plataforma-giratoria-A.png|300px]]</center>

===Pregunta 1===
¿Cuánto vale, en ese instante, la velocidad del pájaro en m/s para un observador situado en el eje de la plataforma y ligado a ella? 

:* '''A''' <math>2\vec{\jmath}_1</math>.
:* '''B''' <math>\vec{0}</math>.
:* '''C''' <math>4\vec{\jmath}_1</math>.
:* '''D''' <math>-2\vec{\jmath}_1</math>.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">B<span>'''.

Por la fórmula de [[Composici%C3%B3n_de_dos_movimientos_(CMR)#Composici.C3.B3n_de_velocidades|composición de velocidades]]

<center><math>\vec{v}^A_{31}=\vec{v}^A_{32}+\vec{v}^A_{21}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^A_{32}=\vec{v}^A_{31}-\vec{v}^A_{21}</math></center>

<math>\vec{v}^A_{31}</math> es la velocidad del pájaro respecto al suelo y <math>\vec{v}^A_{21}</math> es la que tiene el punto A de la plataforma respecto al suelo. Esta es la de una rotación

<center><math>\vec{v}^A_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA}=(4\vec{k})\times(0.5\vec{\imath})=2\vec{\jmath}</math></center>

Por tanto la velocidad del pájaro respecto a la plataforma

<center><math>\vec{v}^A_{32}=\vec{v}^A_{31}-\vec{v}^A_{21}=\left(2\vec{\jmath}\right)-\left(2\vec{\jmath}\right)=\vec{0}</math></center>
 
===Pregunta 2===
¿Y la aceleración del pájaro, en m/s²?
:* '''A''' <math>-8\vec{\imath}_1</math>.
:* '''B''' <math>\vec{0}</math>.
:* '''C''' <math>+8\vec{\imath}_1</math>.
:* '''D''' <math>-16\vec{\imath}_1</math>.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.

Por la fórmula de [[Composici%C3%B3n_de_dos_movimientos_(CMR)#Composici.C3.B3n_de_aceleraciones._Teorema_de_Coriolis|composición de aceleraciones]]

<center><math>\vec{a}^A_{31}=\vec{a}^A_{32}+\vec{a}^A_{21}+2\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^A_{32}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{a}^A_{32}=\vec{a}^A_{31}-\vec{a}^A_{21}-2\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^A_{32}</math></center>

Aquí <math>\vec{a}^A_{31}</math> es la aceleración del pájaro respecto al suelo, que es nula, por moverse uniformemente.

El último término también se anula por ser cero <math>\vec{v}^A_{32}</math>.

Queda el término del punto A de la plataforma respecto al suelo. Esta es la de un movimiento circular

<center><math>\vec{a}^A_{21}=-|\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{OA}=-16(0.5\vec{\imath})=-8\vec{\imath}</math></center>

y por tanto

<center><math>\vec{a}^A_{32}=\vec{0}-\vec{a}^A_{21}-\vec{0}=+8\vec{\imath}</math></center>