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===Enunciado===

El vector <math>\vec{a}</math> tiene un módulo de 6.00 unidades y forma un ángulo de 36.0<math>^{\circ}</math> con el eje <math>X</math>, mientras que el vector <math>\vec{b}</math> tiene un módulo de 7.00 unidades y apunta en la dirección negativa del eje <math>X</math>. Calcula la suma y la diferencia de estos dos vectores haciendo uso de los teoremas del seno y del coseno.

=== Solución===

====Teoremas del seno y del coseno ====
[[Imagen:F1_GIA_p02_01_triangulo.png|right]]
El triángulo de la derecha nos sirve para ilustrar los enunciados del teorema del seno y del teorema del 
coseno. 

'''Teorema del seno''': dado un triángulo de lados <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, con ángulos <math>\hat{A}</math>, <math>\hat{B}</math>, 
<math>\hat{C}</math>, indicados en la figura, se cumple
<center><math>
  \dfrac{a}{\,\mathrm{sen}\, \hat{A}}=  \dfrac{b}{\,\mathrm{sen}\, \hat{B}}=  \dfrac{c}{\,\mathrm{sen}\, \hat{C}}
</math></center>
Vemos que relaciona cada lado con el seno del ángulo opuesto a ese lado.

'''Teorema del coseno''': dado el triángulo de la figura, la longitud de un lado se expresa como
función de las longitudes de los otros dos lados y del ángulo opuesto como
<center><math>
  \left.
  \begin{array}{l}
    a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}\\
    b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\hat{B}\\
    c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\hat{C}
  \end{array}
  \right.
</math></center>

====Suma de los vectores====

[[Imagen:F1_GIA_p02_01_suma.png|right]]
Vamos a hacer la suma gráficamente. Para ello, podemos colocar un vector detrás de otro y unir el punto
de partida con el punto final. Como se observa en la figura, obtenemos un triángulo cuyo tercer lado
es el vector <math>\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}</math> que buscamos. De este triangulo conocemos las longitudes de los
lados correspondientes a los vectores <math>\vec{a}</math> y <math>\vec{b}</math> y el ángulo <math>\delta</math> que forma el vector
<math>\vec{a}</math> con el eje <math>X</math>. 
Para determinar gráficamente el vector suma necesitamos
calcular su módulo (la longitud del lado del triangulo) y el ángulo que forma con el eje <math>X</math> (<math>\gamma=\delta+\beta)</math>.

Usando el teorema del coseno calculamos el módulo del vector <math>\vec{c}</math>
<center><math>
  c=(a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos\delta)^{1/2}
</math></center>
Una vez conocido <math>c</math> calculamos el ángulo <math>\beta</math> usando el teorema del seno
<center><math>
  \dfrac{c}{\,\mathrm{sen}\,\delta}=\dfrac{b}{\,\mathrm{sen}\,\beta}\Longrightarrow 
  \,\mathrm{sen}\,{\beta} = \dfrac{b}{c}\,\mathrm{sen}\,\delta
</math></center>
Sustituyendo los valores numéricos dados por el enunciado obtenemos
<center><math>
  \left.
  \begin{array}{l}
    c=(a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos\delta)^{1/2}=4.13\\ \\
    \beta = \mathrm{arcsen}\,\left(\dfrac{b}{c}\,\mathrm{sen}\,\delta\right)=85.0^{\circ}=1.48\,\mathrm{rad}\\ \\
    \gamma=\delta+\beta=121^{\circ}=2.11\,\mathrm{rad}
  \end{array}
  \right.
</math></center>
Ahora podemos calcular las componentes cartesianas del vector <math>\vec{c}</math>
<center><math>
  \vec{c} = c_x\,\vec{\imath} + c_y\,\vec{\jmath} = c\,\cos{\gamma}\,\vec{\imath} + c\,\,\mathrm{sen}\,\gamma\,\vec{\jmath} =
  -2.13\,\vec{\imath} + 3.54\,\vec{\jmath}
</math></center>
Vemos que el resultado es compatible con el dibujo que hemos utilizado.

====Resta de los vectores ====
[[Imagen:F1_GIA_p02_01_resta.png|right]]
El procedimiento es similar al caso de la suma. La diferencia es que al final del vector <math>\vec{a}</math> colocamos
el vector <math>-\vec{b}</math>, como se indica en la figura. Vemos en el dibujo que el ángulo <math>\theta</math> es 
el suplementario de <math>\delta</math>, es decir <math>\theta=\pi-\delta</math> (trabajando en radianes). Como en el apartado
anterior, usamos el teorema del coseno para calcular el módulo del vector <math>\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}</math>
<center><math>
  c=\left( a^2 + b^2 - 2\,a\,b\,\cos\theta \right)^{1/2}=\left( a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos(\pi-\delta) \right)^{1/2}=
  \left( a^2+b^2+2\,a\,b\,\cos\delta \right)^{1/2}
</math></center>
Con el teorema del seno calculamos el ángulo <math>\beta</math>
<center><math>
  \dfrac{b}{\,\mathrm{sen}\,\beta}=\dfrac{c}{\,\mathrm{sen}\,\theta}=\dfrac{c}{\,\mathrm{sen}\,(\pi-\delta)}=\dfrac{c}{\,\mathrm{sen}\,\delta}
  \Longrightarrow
  \,\mathrm{sen}\,\beta=\left( \dfrac{b}{c} \right)\,\mathrm{sen}\,\delta
</math></center>
El ángulo que forma el vector <math>\vec{c}</math> con el eje <math>X</math> es <math>\gamma=\delta-\beta</math>. Sustituyendo
los valores numéricos obtenemos
<center><math>
  \left.
  \begin{array}{l}
    c=\left( a^2+b^2+2\,a\,b\,\cos\delta \right)^{1/2}=12.4\\ \\
    \beta=\arcsin\left( \dfrac{b}{c}\,\mathrm{sen}\,\delta \right)=19.4^{\circ}=0.332\,\mathrm{rad}\\ \\
    \gamma = \delta-\beta = 16.6^\circ=0.290\,\mathrm{rad}
  \end{array}
  \right.
</math></center>
Las componentes cartesianas del vector resta son
<center><math>
  \vec{c} = c_x\,\vec{\imath} + c_y\,\vec{\jmath} = c\,\cos{\gamma}\,\vec{\imath} + c\,\,\mathrm{sen}\,\gamma\,\vec{\jmath} =
  11.9\,\vec{\imath} + 3.54\,\vec{\jmath}
</math></center>

==== Resolución usando una base cartesiana ====
El problema es más fácil de resolver si expresamos los vectores <math>\vec{a}</math> y <math>\vec{b}</math> en la base
cartesiana 
<center><math>
  \left.
  \begin{array}{l}
    \vec{a} = a\cos\delta\,\vec{\imath}+a\,\mathrm{sen}\,\delta\,\vec{\jmath} = 4.85\,\vec{\imath} + 3.53\,\vec{\jmath}\\ \\
    \vec{b}=-7\,\vec{\imath}
  \end{array}
  \right.
</math></center>
Los vectores suma y resta son
<center><math>
  \left.
  \begin{array}{l}
    \vec{a}+\vec{b}= -2.15\,\vec{\imath} + 3.53\,\vec{\jmath}\\ \\
    \vec{a}-\vec{b} = 11.9\,\vec{\imath} + 3.53\,\vec{\jmath}
  \end{array}
  \right.
</math></center>

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