Ver el código de «Sep. 2018 (M.R.) Disco rodando sobre escuadra giratoria»

= Enunciado =
[[Archivo:MR_disco_escuadra_enunicado.png|right|325px]]
Un disco (sólido "2") de masa <math>M</math> y radio <math>R</math>, rueda sin deslizar sobre una escuadra (sólido "0") de masa despreciable. La escuadra gira en el plano
<math>OX_1Y_1</math> con velocidad angular constante <math>\omega_0</math>. 
#Encuentra reducciones cinemáticas de todos los movimientos del problema en el centro del disco <math>G</math>.
#Calcula el momento cinético del disco respecto a <math>G</math> y <math>O</math>, su energía cinética y su energía potencial.
#Aplicando los métodos de la Mecánica Vectorial, encuentra las ecuaciones de movimiento del disco. ¿Cuál es la frecuencia propia de oscilación del sistema (también llamada frecuencia natural)?
#Encuentra las fuerzas y momentos que actúan sobre la escuadra (sólido "0") para que se mueva de la forma descrita.

= Solución = 

== Reducciones cinemáticas ==

Para el movimiento {01}
<center>
<math>
\vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k} = \omega_0\,\vec{k}_0,
\qquad
\vec{v}^{\,O}_{01}=\vec{0}.
</math>
</center>
El vector geométrico <math>\overrightarrow{OG}</math> es
<center>
<math>
\overrightarrow{OG} = s\,\vec{\imath}_0 + R\,\vec{\jmath}_0.
</math>
</center>
La velocidad de este movimiento en <math>G</math> es
<center>
<math>
\vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG} = -R\omega_0\,\vec{\imath}_0 +s\omega_0\,\vec{\jmath}_0
</math>
</center>
Para el movimiento {20}
<center>
<math>
\vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{k}.
\qquad
\vec{v}^{\,G}_{20}=\dot{s}\,\vec{\imath}_0,
\qquad
\vec{v}^{\,A}_{20}=\vec{0}.
</math>
</center>
Aplicamos Chasles para encontrar la ligadura entre <math>\theta</math> y <math>s</math>
<center>
<math>
\vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{v}^{\,A}_{20} + \vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AG} = -R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 = \dot{s}\,\vec{\imath}_0.
</math>
</center>
La reducción cinemática en <math>G</math> es
<center>
<math>
\vec{\omega}_{20} = -\dfrac{\dot{s}}{R}\,\vec{k},
\qquad
\vec{v}^{\,G}_{20} = \dot{s}\,\vec{\imath}_0.
</math>
</center>
Para el movimiento {21} aplicamos las leyes de composición
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = 
\left(w_0-\dfrac{\dot{s}}{R}\right)\,\vec{k}.\\
\\
\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01} =
(-R\omega_0 + \dot{s})\,\vec{\imath}_0 + \omega_0 s\,\vec{\jmath}_0.
\end{array}
</math>
</center>

== Cinética ==

=== Momento cinético ===
El momento cinético en <math>G</math> es
<center>
<math>
\vec{L}_G = I_G\vec{\omega}_{21}
</math>
</center>
Al ser un movimiento plano no hay que usar el tensor de inercia. El momento de inercia de la expresión es <math>I_G = mR^2/2</math>. Por tanto
<center>
<math>
\vec{L}_G = \dfrac{1}{2}mR^2\,\left(w_0-\dfrac{\dot{s}}{R}\right)\,\vec{k}.
</math>
</center>
Calculamos el momento cinético en <math>O</math> usando la ecuación del campo de momentos cinéticos para trasladar <math>\vec{L}_G</math>
<center>
<math>
\vec{L}_O = \vec{L}_G + \vec{C}\times\overrightarrow{GO}.
</math>
</center>
La cantidad de movimiento es
<center>
<math>
\vec{C} = m\vec{v}^{\,G}_{21}=
m(-R\omega_0 + \dot{s})\,\vec{\imath}_0 + m\omega_0 s\,\vec{\jmath}_0.
</math>
</center>
El momento angular en <math>O</math> es
<center>
<math>
\vec{L}_O = \dfrac{1}{2}m\,\left(3R^2w_0+2\omega_0s^2-3R\dot{s}\right)\,\vec{k}.
</math>
</center>

=== Energía cinética ===
Calculamos la energía cinética pasando por el Centro de Masas
<center>
<math>
T = T_T + T_R = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I_G|\vec{\omega}_{21}|^2
=
\dfrac{m}{4}\,\left(
2\omega_0^2s^2 + 3(\dot{s}-R\omega_0)^2
\right).
</math>
</center>

=== Energía potencial ===
Contribuyen la energía elástica del muelle, <math>U_k</math>, y la energía potencial gravitatoria, <math>U_g</math>. Como el muelle tiene longitud natural nula tenemos
<center>
<math>
U_k = \dfrac{1}{2}ks^2.
</math>
</center>
Para la gravedad tomamos como referencia el eje <math>OX_1</math>. La energía potencial gravitatoria es
<center>
<math>
U_g = mgh,
</math>
</center>
donde <math>h</math> es la altura del centro del disco respecto a este eje. La forma mas fácil de calcularla es hacer el producto escalar
<center>
<math>
h = \overrightarrow{OG}\cdot\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Del dibujo vemos que
<center>
<math>
\vec{\jmath}_1 = \mathrm{sen}\,(\omega_0 t)\,\vec{\imath}_0 + \cos(\omega_0 t)\,\vec{\jmath}_0.
</math>
</center>
Entonces 
<center>
<math>
h = R\cos(\omega_0 t) + s\,\mathrm{sen}\,(\omega_0 t),
</math>
</center>
y la energía potencial total es
<center>
<math>
U = U_k + U_g = \dfrac{1}{2}ks^2 +
mg(R\cos(\omega_0 t) + s\,\mathrm{sen}\,(\omega_0 t)).
</math>
</center>

== Ecuaciones de movimiento con Mecánica Vectorial ==
[[File:MR_disco_escuadra_fuerzas.png|right|350px]]
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre el disco. Las fuerzas activas son el peso y la fuerza del muelle. Las vinculares son la normal en <math>A</math> y la fuerza de rozamiento en <math>A</math>. Tiene que haber rozamiento, pues en caso contrario no habría rodadura sin deslizamiento.

Expresamos las fuerzas en la base del sólido "0"
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{P} = -mg\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_0 -mg\cos\phi\,\vec{\jmath}_0,\\
\\
\vec{F}_k = -ks\,\vec{\imath}_0,\\
\\
\vec{A}_{20} = A\,\vec{\jmath}_0, \\
\\
\vec{f}^{\,A}_{20} = f\,\vec{\imath}_0 \qquad (f>0).
\end{array}
</math>
</center>
Sabemos que la fuerza de rozamiento apunta hacia la derecha pues, si no hubiera rozamiento, el disco deslizaría hacia la izquierda.

Necesitamos la derivada de la reducción cinemática {21} en <math>G</math>. Vamos a calcularla usando las leyes de composición. Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}, && 
\vec{a}^{\,0}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}.\\
&&\\
\vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = -\dfrac{\ddot{s}}{R}\,\vec{k}, && 
\vec{a}^{\,G}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,G}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \ddot{s}\,\vec{\imath}_0.
\end{array}
</math>
</center>
Usando las leyes de composición
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} = 
-\dfrac{\ddot{s}}{R}\,\vec{k},
</math>
</center>
y
<center>
<math>
\begin{array}{rl}
\vec{a}^{\,G}_{21}& =  \vec{a}^{\,G}_{20} + \vec{a}^{\,G}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,G}_{20}
=
(\ddot{s} -\omega_0^2s)\,\vec{\imath}_0 + (2\omega_0\dot{s}-R\omega_0^2)\,\vec{\jmath}_0
\\
&\\
& \vec{a}^{\,G}_{20} = \vec{0}\\
&\\
& \vec{a}^{\,G}_{01} = \vec{a}^{\,O}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OG} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}) 
=
-s\omega_0^2\,\vec{\imath}_0 -R\omega_0^2\,\vec{\jmath}_0\\
&\\
& 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,G}_{20} = 2\omega_0\dot{s}\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math>
</center>
=== T.C.M. ===
El teorema dice
<center>
<math>
m\vec{a}^{\,G}_{21} = \vec{P} + \vec{F}_k + \vec{A}_{20} + \vec{f}^{\,A}_{20}.
</math>
</center>
Obtenemos 2 ecuaciones
<center>
<math>
\begin{array}{lclr}
X_0) & \to & m(\ddot{s} -\omega_0^2s) = -ks + f -mg\,\mathrm{sen}\,(\omega_0t)
, & (1)\\
&&&\\
Y_0) & \to & m(2\omega_0\dot{s}-R\omega_0^2) = -mg\cos(\omega_0t) + A.& (2)
\end{array}
</math>
</center>

=== T.M.C. ===
Aplicamos el teorema en el centro del disco, su centro de masas
<center>
<math>
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{M}_G^{neto}
</math>
</center>
La derivada temporal del momento angular es
<center>
<math>
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}\right|_1 = I_G\vec{\alpha}_{21}
=
-\dfrac{1}{2}mR\ddot{s}\,\vec{k}.
</math>
</center>
La única fuerza que crea momento respecto al punto <math>G</math> es la de rozamiento. El peso y la fuerza elástica están aplicadas en <math>G</math>, y la recta soporte de <math>\vec{N}_A</math> contiene a <math>G</math>. Tenemos
<center>
<math>
\vec{M}_G^{neto} = \overrightarrow{GA}\times\vec{f}^{\,A}_{20}
= Rf\,\vec{k}.
</math>
</center>
La ecuación que proporciona el T.M.C. es
<center>
<math>
-\dfrac{1}{2}m\ddot{s} = f. \qquad (3)
</math>
</center>
Tenemos 3 ecuaciones y 3 incógnitas: <math>\{s, N_A, f\}</math>. El problema está bien definido.

Sustituyendo (3) en (1) obtenemos una ecuación en la que sólo aparece <math>s(t)</math> y sus derivadas
<center>
<math>
\ddot{s} + \dfrac{2}{3}\,\left(\dfrac{k}{m}-\omega_0^2\right)\,s = -\dfrac{2}{3} g\,\mathrm{sen}\,(\omega_0 t).

</math>
</center>
Si el término que multiplica a <math>s</math> es positivo, esta es la ecuación de un oscilador armónico forzado con frecuencia natural
<center>
<math>
\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}-\omega_0^2} \qquad \dfrac{k}{m}>\omega_0^2.
</math>
</center>

Las componentes de las fuerzas vinculares son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
A = mg\cos(\omega_0t) + m(2\omega_0\dot{s} - R\omega_0^2)s,\\
\\
f = -\dfrac{1}{2}m\ddot{s} = \dfrac{1}{3}mg\,\mathrm{sen}\,(\omega_0t) + \dfrac{1}{3}(k-m\omega_0^2)s.
\end{array}
</math>
</center>

== Fuerzas y momentos sobre la escuadra ==
[[File:MR_disco_escuadra_fuerzas_0.png|right]]
La figura muestra las fuerzas y momentos que actúan sobre la escuadra. EL punto <math>O</math> es fijo, por lo que hay que añadir una fuerza vincular para que la ligadura se respete. Las otras fuerzas son pares de acción reacción de las fuerzas sobre el disco. Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{O}_{01} = O_x\,\vec{\imath}_0 + O_y\,\vec{\jmath}_0,\\
\\
\vec{A}_{02} = -\vec{A}_{20} = -A\,\vec{\jmath}_0,\\
\\
\vec{f}^{\,A}_{02} = -\vec{f}^{\,A}_{20} = -f\,\vec{\imath}_0,\\
\\
\vec{\tau} = \tau,\vec{k}.
\end{array}
</math>
</center>
Las expresiones de <math>f</math> y <math>A</math> son las que hemos obtenido en el apartado anterior.

La masa de la escuadra es despreciable, por tanto, <math>m_0=0</math>. Entonces, al aplicar el T.C.M. y el T.M.C. los términos de inercia, donde aparece la masa del sólido, son nulos. Aplicando el T.C.M. obtenemos
<center>
<math>
\dot{\vec{C}_0} = m_0\vec{a}^{\,CM}_{01} = \vec{0} = \vec{O}_{01} + \vec{A}_{02} + \vec{f}^{\,A}_{02} 
\Longrightarrow
\vec{O}_{01} = - \vec{A}_{02} - \vec{f}^{\,A}_{02} = f\,\vec{\imath}_0 + A\,\vec{\jmath}_0.
</math>
</center>
Aplicamos el T.M.C en <math>O</math> como <math>m_0=0</math> tenemos <math>I_O=0</math> y <math>\vec{L}^{0}_O=\vec{0} </math> en todo instante de tiempo. Entonces
 <center>
<math>
\dot{\vec{L}}^{0}_O=\vec{0} = \vec{\tau} +
\overrightarrow{OA}\times\vec{A}_{02} 
\Longrightarrow
\vec{\tau} = 
-\overrightarrow{OA}\times\vec{A}_{02}
=-(s\,\vec{\imath}_0)\times(-A\,\vec{\jmath}_0)
=
sA\,\vec{k}.
</math>
</center>
Las expresión de <math>s</math> se obtendría resolviendo la ecuación de movimiento y la <math>A</math> la que hemos encontrado en el apartado anterior.

[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (MR)]]
[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido]]
[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]