Ver el código de «Problemas de mecánica analítica (CMR)»

==Estudio analítico de máquina de Atwood==
Una máquina de Atwood está formada por dos masas <math>m_1</math> y <math>m_2</math> unidas por un hilo ideal, inextensible y sin masa, que pasa por una polea ideal, sin rozamiento y sin masa. 
# Empleando el principio de D’Alembert halle la aceleración de cada una de las masas.
# Con ayuda de los multiplicadores de Lagrange, calcule la tensión del hilo que pasa por la polea.
# Suponga ahora que la polea es un disco de radio <math>R</math> con momento de inercia <math>I</math>. ¿Cómo queda en ese caso la aceleración de las masas? ¿Y las tensiones de la cuerda?

[[Estudio analítico de máquina de Atwood|Solución]]

==Estudio analítico del plano inclinado==
Una partícula de masa <math>m</math> desliza sin rozamiento por un plano inclinado, de base <math>b</math> y altura <math>h</math>, sometida a la fuerza de la gravedad y las fuerzas de reacción. Empleando como coordenadas las cartesianas de la partícula con el eje OX horizontal y el OY vertical:
# Escriba la ecuación del vínculo entre las coordenadas.
# A partir del principio de D’Alembert, obtenga las componentes de la aceleración de la masa.
# Con ayuda de los multiplicadores de Lagrange, halle las componentes de la fuerza de reacción del plano sobre la masa.

[[Estudio analítico del plano inclinado|Solución]]

==Estudio analítico del péndulo simple==
Empleando el principio de D’Alembert, obtenga las ecuaciones de movimiento para las coordenadas cartesianas de un péndulo simple que oscila verticalmente.

[[Estudio analítico del péndulo simple|Solución]]

==Estudio analítico de dos masas unidas por un muelle==
Como en el problema &ldquo;[[Dos masas unidas por un muelle]]&rdquo; tenemos dos masas <math>m_1</math> y <math>m_2</math> se mueven a lo largo del eje OX unidas por un resorte de constante <math>k</math> y longitud natura <math>\ell_0</math>. Inicialmente las dos masas se encuentran en reposo en <math>x_{10}=0</math> y <math>x_{20}=\ell_0</math>. Entonces se le comunica a la masa <math>m_1</math> una velocidad <math>v_0</math> en el sentido positivo del eje. 
<center>[[Archivo:Dos-masas-muelle-horizontal.png|400px]]</center>
# Determine la lagrangiana del sistema en función de las posiciones de las dos partículas.
# Obtenga las ecuaciones de movimiento para <math>x_1</math> y <math>x_2</math>
Realice el cambio de variables a las coordenadas generalizadas <math>x_G=(m_1 x_1+m_2 x_2 )/(m_1+m_2 )</math>, <math>x=x_2-x_1-\ell_0</math>.
<ol start="3">
<li>¿Cómo queda la lagrangiana en función de estas coordenadas?</li>
<li>Obtenga las ecuaciones de movimiento para <math>x_G</math> y <math>x</math>.</li>
<li>Determine dos constantes de movimiento para este sistema.</li>
</ol>

[[Estudio analítico de dos masas unidas por un muelle|Solución]]

==Estudio analítico de una barra apoyada==
Como en el problema &ldquo;[[Barra deslizante con masas en los extremos]]&rdquo;, supongamos que tenemos una barra de masa m y longitud b apoyada en el suelo y en una pared vertical, sometida a la acción del peso (vertical y hacia abajo) y a las fuerzas de reacción en los puntos de contacto. No hay rozamiento con las superficies

<center>[[Archivo:Barra-dos-masas.png|250px]]</center>
# Determine la lagrangiana del sistema.
# Halle la ecuación de movimiento para el ángulo θ.
# Determine una constante de movimiento no trivial.
# Añadiendo una coordenada x que representaría la separación de la barra respecto de la pared vertical, calcule la fuerza de reacción ejercida por la pared.
# Existe un valor de θ para el cual la barra se separa de la pared. Determine este valor.
# Halle la ecuación de movimiento para la barra una vez que se ha separado de la pared.

[[Estudio analítico de una barra apoyada|Solución]]

==Péndulo compuesto==
Para el sistema del problema &ldquo;[[Péndulo compuesto (CMR)|Péndulo compuesto]]&rdquo; analice el problema general mediante las técnicas de mecánica analítica. Se tiene una barra homogénea de longitud b y masa m, articulada mediante una rótula en un extremo O y sometida a la acción de la gravedad. La barra puede tanto variar su ángulo &theta; con la vertical como el ángulo &#981; alrededor de OZ.

Para este sistema
# Calcule la lagrangiana del sistema.
# Halle las ecuaciones de movimiento para los dos ángulos de giro, &theta; y &#981;
# Obtenga dos constantes de movimiento no triviales.
# Con ayuda de las constantes de movimiento, halle una ecuación que incluya solamente a &theta;
# Calcule el valor que debe tener la velocidad angular <math>\dot{\phi}</math> si se desea que la barra mantenga una inclinación constante respecto a la vertical.

[[Péndulo compuesto. Análisis por mecánica analítica (CMR)|Solución]]

==Dos barras articuladas==
[[Archivo:dos-barras-articuladas.png|300px|right]]

Un sistema está formado por dos varillas homogéneas, ambas de masa <math>m</math> y longitud <math>b</math>, situadas sobre un plano horizontal (“sólido 1”). La varilla “2” está articulada por su extremo O a un punto fijo del plano, mientras que por su extremo A está articulada a la varilla “3”.
# Escriba la lagrangiana del sistema, empleando como coordenadas generalizadas los ángulos que ambas varillas forman con el eje OX. 
# Obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos.
# ¿Es cíclica alguna de estas coordenadas? 
Si en lugar de esas coordenadas se usan el ángulo ϕ que la varilla OA forma con OX y el ángulo θ que AB forma con la prolongación de OA
<ol start="4">
<li>¿Cómo queda la lagrangiana?</li>
<li>¿Y las ecuaciones de movimiento para estos ángulos?</li>
<li>¿Es cíclica alguna de estas coordenadas?</li>
<li>Determine dos constantes de movimiento para este sistema.</li>
<li>Con ayuda de estas constantes, reduzca el problema a una única ecuación de movimiento para el ángulo θ.</li>
</ol>
Suponga ahora que la varilla 2 es forzada a girar con velocidad angular constante Ω en torno a O.
<ol start ="9">
<li>Escriba la lagrangiana para este sistema en función del ángulo θ.</li>
<li>Obtenga la ecuación de movimiento para θ. ¿Es la misma que en el apartado (8)?</li>
<li>¿Se conserva la energía en este sistema? ¿Hay alguna otra constante de movimiento?</li>
</ol>

[[Dos barras articuladas (CMR)|Solución]]

==Dos rodillos unidos por un resorte==
Se tiene un sistema de dos rodillos (“2” y “3”) de la misma masa m y el mismo radio R, situados sobre una superficie horizontal (sólido 1), sobre la que pueden rodar sin deslizar. Los dos rodillos no son idénticos. El “2” es un cilindro macizo homogéneo (<math>\gamma=1/2</math>), mientras que el “3” tiene su masa concentrada en la superficie cilíndrica (<math>\gamma=1</math>). Los dos rodillos están conectados por un resorte de constante k y longitud natural <math>\ell_0</math>. Todo el sistema está sometido a la acción del peso.
<center>[[Archivo:dos-rodillos-muelle.png|800px]]</center>
Estando en reposo en una posición de equilibrio, se sujeta el cilindro 2 y se desplaza el 3 una cierta distancia A, manteniéndolos en reposo. Entonces se sueltan los dos.
# Halle la lagrangiana de este sistema, empleando como coordenadas generalizadas las posiciones <math>x_2</math> y <math>x_3</math> de las centros de los rodillos, medidas respecto a un sistema fijo.
# Halle las ecuaciones de movimiento para las posiciones de los centros de los rodillos, esto es, halle <math>\ddot{x}_2</math> y <math>\ddot{x}_3</math> en función de las posiciones <math>x_2</math> y x_3.
Si en lugar de <math>x_2</math> y <math>x_3</math> se emplean como coordenadas <math>x_2</math> y <math>x</math>, definida x como la longitud del resorte menos su longitud en el equilibrio
<ol start="3">
<li>¿Cómo queda la lagrangiana en función de <math>x_2</math> y <math>x</math>?</li>
<li>¿Y las ecuaciones de movimiento para estas coordenadas?</li>
<li>¿Cuál es la frecuencia de oscilación del resorte?</li>
<li>¿Y la posición de cada masa como función del tiempo?</li>
<li>¿Qué constantes de movimiento existen en este problema?</li>
</ol>

[[Dos rodillos unidos por un resorte (CMR)|Solución]]

==Estudio analítico de una partícula dentro de un tubo==
Una partícula de masa <math>m</math> se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular Ω constante alrededor del eje OZ
# Determine la lagrangiana de este sistema.
# Halle la ecuación de movimiento para la coordenada radial ρ.
# ¿Se conserva la energía en este sistema? Si no es así, ¿hay alguna otra magnitud similar que sí se conserve?
# Con ayuda de los multiplicadores de Lagrange, calcule la fuerza de reacción generalizada que el tubo ejerce sobre la partícula.

[[Estudio analítico de una partícula dentro de un tubo|Solución]]

==Percusión sobre una barra. Estudio analítico==
Suponga una barra homogénea, de masa <math>m</math> y longitud <math>b</math>, situada horizontalmente sobre un plano sin rozamiento.

Estando la barra en reposo, se efectúa sobre ella una percusión <math>\vec{P}_0</math> perpendicular a la dirección de la barra y a una distancia c de su centro. 

Empleando las técnicas de la mecánica analítica, determine la velocidad del centro de la barra y la velocidad angular de ésta, así como las posibles fuerzas y momentos impulsivos de reacción, en los casos siguientes:

# La barra puede moverse libremente por el plano.
# La barra se halla articulada por un extremo A a una pared inmóvil.
# La barra se halla empotrada por su extremo A a una pared inmóvil.

[[Percusión sobre una barra. Estudio analítico|Solución]]

==Percusión sobre un sistema articulado==
Considerando el sistema de dos barras articuladas del problema &ldquo;[[Dos barras articuladas (CMR)|dos barras articuladas]]&rdquo; suponga que el sistema se halla completamente extendido y en reposo. Entonces, se efectúa una percusión <math>\vec{P}_0</math> perpendicular a la dirección de las barras y a una distancia c de la articulación A entre las dos barras.

Determine la velocidad angular de cada barra, así como la velocidad de los puntos A y B (extremo libre de la segunda barra) en los casos:

# Se golpea la barra OA en un punto D a una distancia c de la articulación A.
# Se golpea la barra AB en un punto D a una distancia c de la articulación A.

[[Percusión sobre un sistema articulado|Solución]]

[[Categoría:Problemas de mecánica analítica (CMR)|0]]