Ver el código de «Problemas de cinemática del sólido rígido (CMR)»

= Problemas del boletín =

==[[Velocidad instantánea en tres puntos (MR G.I.C.) | Velocidad instantánea en tres puntos]]==
En un determinado instante, tres puntos de un sólido rígido en movimiento ocupan las posiciones dadas por 
<center>
<math>
O(0,0,0); \qquad A(0,a,0); \qquad B(0,0,2a).
</math>
</center>
Las velocidades instantáneas de esos puntos, medidas en el mismo sistema de referencia son:
<center>
<math>
\vec{v}^O = v_0\,\vec{\imath}; \qquad \vec{v}^A=\dfrac{v_0}{2}\,\vec{k}; \qquad \vec{v}^B=v_0\,(\vec{\imath} - \vec{\jmath}).
</math>
</center>
#Calcula la reducción cinemática en el punto <math>O </math> de dicho movimiento instantáneo y averigua de qué tipo de movimiento se trata.
#Calcula el vector velocidad instantánea de los puntos con velocidad mínima.
#Obtén las expresión vectorial del lugar geométrico formado por los puntos con velocidad mínima.

==[[Ejemplos de reducciones cinemáticas (G.I.A.) | Ejemplos de reducciones cinemáticas]]==
Encuentra las reducciones cinemáticas instantáneas pedidas de cada uno de estos movimientos
# Una rueda de radio <math>R</math> que gira con velocidad angular constante <math>\omega</math> alrededor de un eje perpendicular a ella que pasa por su centro. Encuentra la reducción canónica.
# Una rueda de radio <math>R</math> rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal de modo que su centro avanza con velocidad uniforme <math>v_0</math>.  Encuentra la reducción en el centro y la reducción canónica.
# Una rueda de radio <math>R</math> rueda y desliza con velocidad angular <math>\omega</math> alrededor de un eje perpendicular a ella, de modo que el punto de contacto con el suelo tiene una vez relativa a éste de módulo <math>v_{des}</math>.   Encuentra la reducción en el punto de contacto y la reducción canónica.
# Un tornillo gira con velocidad angular uniforme <math>\omega</math> y avanza con velocidad uniforme <math>v</math> paralelamente a su eje. Encuentra la reducción en el punto más alto de la superficie frontal del tornillo y la reducción canónica.

==[[Disco desenrollándose de una cuerda (G.I.A.) | Disco desenrollándose de una cuerda]]==
[[Archivo:el_yo_yo_0.gif|right]]Un disco de radio <math>R</math> gira y cae, siempre contenido en el plano vertical <math>OXY</math>, mientras se desenrrolla de una cuerda que pende verticalmente, y cuya longitud aumenta según la ley horaria <math>l(t)=R+K\!\ t^2</math> (donde <math>K</math> es una constante conocida).
# Obtenga la reducción cinemática que describe el movimiento instantáneo del disco.
# Velocidad y aceleración instantáneas del punto <math>B</math> indicado en la figura.

= Otros problemas =

==[[Traslación y rotación en el plano (CMR)|Traslación y rotación en el plano]]==
En un movimiento plano, un sólido realiza una traslación <math>8\vec{\imath}+6\vec{\jmath}</math> seguida de una rotación de 90° en torno a la nueva posición del origen de coordenadas. ¿Qué punto del plano está al final en la misma posición que al principio?
¿Cómo cambia el resultado si la rotación que sucede a la traslación es de un ángulo θ tal que tg⁡(θ)=3\/4?

==[[Caso de rotación finita (CMR)|Caso de rotación finita]]==
Tras una determinada rotación en torno al origen de coordenadas la base ligada al sólido se expresa en función de la base fija como<center><math>
\begin{array}{rcl}
\vec{\imath}_2 & = & 0.60\vec{\imath}_1 + 0.64\vec{\jmath}_1 - 0.48\vec{k}_1 \\
\vec{\jmath}_2 & = & 0.60\vec{\jmath}_1 + 0.80\vec{k}_1 \\
\vec{k}_2 & = & 0.80\vec{\imath}_1 - 0.48\vec{\jmath}_1 + 0.368\vec{k}_1 \end{array}</math></center>
# Compruébese que la base es ortonormal.
# Determine un vector en la dirección del eje de rotación.
# Calcule el ángulo girado en torno a este eje (estudie el cambio de un vector perpendicular al eje).

==[[Clasificación de movimientos de un sólido]]==
Se tiene un sólido formado por ocho masas iguales, <math>m=100\,\mathrm{g}</math>, situadas en los vértices de un cubo de lado <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. En un instante dado, una de ellas se encuentra en el origen de coordenadas y las aristas son paralelas a los ejes de coordenadas.

<center>[[Archivo:ocho-masas.png]]</center>

Considere los casos siguientes para las velocidades de las masas situadas en <math>\vec{r}_1=b\vec{\imath}</math>, <math>\vec{r}_2=b\vec{\jmath}</math> y <math>\vec{r}_3=b\vec{k}</math>

{| class="bordeado"
|-
! Caso
! <math>\vec{v}_1</math> (cm/s)
! <math>\vec{v}_2</math> (cm/s)
! <math>\vec{v}_3</math> (cm/s)
|-
! I
| <math>\vec{\jmath}-\vec{k}</math>
| <math>-\vec{\imath}+\vec{k}</math>
| <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
|-
! II
| <math>\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}</math>
| <math>\vec{k}</math>
| <math>2\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
|-
! III
| <math>\vec{\jmath}-\vec{k}</math>
| <math>-\vec{\imath}+\vec{k}</math>
| <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
|-
! IV
| <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
| <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
| <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
|-
! V
| <math>\vec{\imath}+2\vec{\jmath}</math>
| <math>\vec{\jmath}+2\vec{k}</math>
| <math>2\vec{\imath}+\vec{k}</math>
|-
! VI
| <math>\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
| <math>\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
| <math>\vec{0}</math>
|}

# Identifique cuáles de las situaciones anteriores son compatibles con la condición de rigidez.
# Para las que sí lo son, identifique si se trata de un movimiento de traslación pura, rotación pura o helicoidal.
# Para las rotaciones y movimientos helicoidales, determine la posición del EIR o EIRMD.
# Para los movimientos compatibles, calcule la cantidad de movimiento, el momento cinético y la energía cinética del sistema de masas.
==[[Rodadura y deslizamiento de un disco]]==
Un disco de radio <math>R</math> y masa <math>M</math> rueda y desliza sobre el plano horizontal <math>y=0</math> de forma que la velocidad del punto de contacto con el suelo, A, y del diametralmente opuesto, B son de la forma

<center><math>\vec{v}_A = v_A\vec{\imath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\imath}</math></center>

# Calcule la velocidad angular del disco.
# Halle la velocidad del centro del disco, C, así como de los puntos D y E situados en los extremos de un diámetro horizontal.
# Determine la posición del centro instantáneo de rotación.
# Indique a qué se reducen los resultados anteriores en los casos particulares siguientes:
## <math>v_A = -v_B</math>
## <math>v_A = 0</math>
## <math>v_A = v_B</math>

==[[Velocidades y aceleraciones en un disco rodante sobre un plano]]==
Un disco de radio <math>R</math> rueda sin deslizamiento sobre el plano horizontal <math>y=0</math> de forma que la posición de su centro sigue una ley

<center><math>\overrightarrow{OG}=x\vec{\imath}+R\vec{\jmath}</math></center>

En función de x y sus derivadas temporales <math>\dot{x}</math> y <math>\ddot{x}</math> halle
# La velocidad angular del disco.
# La velocidad del punto B situado diametralmente opuesto al de contacto con el suelo, A, así como de los puntos D y E situados en los extremos de un diámetro horizontal.
# La aceleración angular del disco
# Las aceleraciones de los puntos A, B, D y E.

==[[Diferentes movimientos de una esfera]]==
Considérese una esfera de masa <math>M</math> y radio <math>R</math> que se mueve sobre la superficie horizontal <math>z=0</math>. Consideramos un instante en el que la esfera toca el suelo justo en el origen de coordenadas, O, y tal que en ese momento la velocidad de
dicho punto de contacto con el suelo es nula

<center><math>\vec{v}_O = \vec{0}</math></center>

Para este mismo instante la velocidad de los puntos <math>\vec{r}_A=-R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> y <math>\vec{r}_B=+R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> situados en un diámetro horizontal valen respectivamente

<center><math>\vec{v}_A = v_A\vec{\jmath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\jmath}</math></center>

Para los tres casos siguientes:

* <math>v_A=+v_B</math>
* <math>v_A=0</math>
* <math>v_A=-v_B</math>

# Indique justificadamente el tipo de movimiento instantáneo que realiza la esfera (traslación, rotación, helicoidal,&hellip;)
# Calcule la velocidad angular del sólido. 
# Halle la velocidad angular de pivotamiento y la de rodadura de la esfera.
# Dé la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o de rotación, en su caso).
# Calcule la velocidad lineal del centro C de la esfera y la del punto D situado en el extremo superior de la esfera.

==[[Deslizamiento de una barra (CMR)|Deslizamiento de una barra]]==
Una barra metálica de 1.00&thinsp;m de longitud resbala apoyada en el suelo y en una pared vertical. En un momento dado su extremo inferior se encuentra a una distancia de 60&thinsp;cm de la esquina y se mueve con velocidad de 12&thinsp;cm/s alejándose de la esquina

<center>[[Archivo:Esquema-barra-apoyada.png|500px]]</center>
# ¿Con qué velocidad se mueve el punto B, extremo superior de la barra?
# Considerando un sistema de ejes centrado en la esquina, con el suelo como eje OX y la pared como eje OZ, ¿dónde se encuentra el C.I.R. de la barra en el instante anteriormente descrito?
# Suponiendo un caso más general en el que la barra forma un ángulo θ con la pared y las derivadas de este ángulo respecto al tiempo valen <math>\dot{\theta}</math> y <math>\ddot{\theta}</math>, siendo <math>\ell</math> la longitud de la barra. Halle cuánto valen en ese caso
## Las velocidades y aceleraciones lineales de los puntos A y B de apoyo de la barra en el suelo y la pared, del centro G de la barra y de la esquina O considerada como punto del sólido.
## La posición del CIR, ¿qué curva describe al ir moviéndose la barra?
### En un sistema de referencia fijo unido al suelo y la pared.
### En un sistema de referencia móvil ligado a la barra.
# Para cada instante, ¿hay algún punto que tenga aceleración nula? ¿Y aceleración normal nula? ¿Y aceleración tangencial nula?
<math></math>

==[[Ejemplo gráfico de movimiento plano]]==
En un movimiento plano, se tiene que la velocidad instantánea de dos puntos A y B es la ilustrada en la figura (para la posición, la cuadrícula representa cm y para la velocidad cm/s)
<center>[[Archivo:mov-plano-rejilla.png|300px]]</center>

# En dicho instante, ¿cuál es la velocidad del origen de coordenadas O?
# ¿Dónde se encuentra el centro instantáneo de rotación?

==[[Diferentes movimientos de una esfera]]==
Considérese una esfera de masa <math>M</math> y radio <math>R</math> que se mueve sobre la superficie horizontal <math>z=0</math>. Consideramos un instante en el que la esfera toca el suelo justo en el origen de coordenadas, O, y tal que en ese momento la velocidad de
dicho punto de contacto con el suelo es nula

<center><math>\vec{v}_O = \vec{0}</math></center>

Para este mismo instante la velocidad de los puntos <math>\vec{r}_A=-R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> y <math>\vec{r}_B=+R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> situados en un diámetro horizontal valen respectivamente

<center><math>\vec{v}_A = v_A\vec{\jmath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\jmath}</math></center>

<center>[[Archivo:bola-sobre-plano.png]]</center>

Para los tres casos siguientes:

* <math>v_A=+v_B</math>
* <math>v_A=0</math>
* <math>v_A=-v_B</math>

# Indique justificadamente el tipo de movimiento instantáneo que realiza la esfera (traslación, rotación, helicoidal,&hellip;)
# Calcule la velocidad angular del sólido. 
# Halle la velocidad angular de pivotamiento y la de rodadura de la esfera.
# Dé la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o de rotación, en su caso).
# Calcule la velocidad lineal del centro C de la esfera y la del punto D situado en el extremo superior de la esfera.

==[[Comparación de posibles movimientos]]==
De las siguientes cuatro figuras, solo una representa velocidades posibles de los extremos A y B de una barra rígida que realiza un movimiento plano. ¿Cuál?

{| class="bordeado"
|-
| [[Archivo:vel-sol-a.png|300px]]
| [[Archivo:vel-sol-b.png|300px]]
|-
! A
! B
|-
| [[Archivo:vel-sol-c.png|300px]]
| [[Archivo:vel-sol-d.png|300px]]
|-
! C
! D
|}

Para la barra anterior, ¿dónde se encuentra su centro instantáneo de rotación, según la cuadrícula de la figura?

¿Cuánto vale, en rad/s, la velocidad angular instantánea de este movimiento, si la cuadrícula representa m en distancias y m/s en velocidades?

==[[Movimiento circular de sistema de referencia]]==
Un sólido describe un movimiento plano tal que un punto A describe un movimiento circular de radio b alrededor del origen de coordenadas, con una ley <math>\phi=\phi(t)</math>. Simultáneamente, unos ejes ligados al sólido en el punto A van girando con una ley θ(t). Para cada instante, determine 
# la velocidad y aceleración del origen de coordenadas O considerado como parte del sólido.
# la posición del CIR en función de θ, &phi; y sus derivadas respecto al tiempo.

==[[Peonza rodante (CMR)|Peonza rodante]]==
Una peonza está formada por una varilla de longitud <math>\ell=20\,cm</math> ensartada en un disco de radio <math>R=15\,\mathrm{cm}</math>. Esta peonza se mueve de forma que el extremo O de la varilla está inmóvil mientras el centro G del disco describe un movimiento circular uniforme alrededor del eje OZ con rapidez <math>v_0=48\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}</math>. El disco rueda sin deslizar sobre el plano OXY, de manera que en todo instante la velocidad del punto de contacto A es nula.

<center>[[Archivo:peonza-rodante.png|600px]]</center>

Para este movimiento, determine, en el instante en que A se encuentra sobre el eje OX:
# La velocidad angular del sólido.
# La velocidad del punto B, diametralmente opuesto a A, y del punto P situado en <math>25\vec{k}\,\mathrm{cm}</math>, considerado como punto del sólido.
# La aceleración angular del sólido.
# La aceleración de los puntos A, G, B, O y P, considerados como puntos del sólido.

[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido (CMR)|0]]

==[[Triángulo en movimiento helicoidal|Triángulo en movimiento helicoidal]]==

El triángulo de vértices <math>A</math>, <math>B</math>, y <math>C</math> constituye un sólido rígido en movimiento respecto al sistema de referencia fijo <math>OXYZ</math>.  De dicho movimiento se conocen los siguientes datos:
# Los vértices <math>A</math> y <math>B</math> permanecen en todo instante sobre el eje <math>OZ</math>, desplazándose ambos con igual velocidad instantánea <math>\vec{v}^A=\vec{v}^B=v(t)\,\vec{k}</math>. 
# El vértice <math>C</math> se mueve describiendo la hélice <math>\Gamma</math>, que en el sistema <math>OXYZ</math> está descrita por las ecuaciones paramétricas:
[[Archivo:el_triangulo.gif|right]] 

<center>
<math>
\Gamma:\vec{r}=\vec{r}(\theta)
\left\{
 \begin{array}{l}
         x(\theta) = R\,\cos\theta\\
         y(\theta) = R\,\,\mathrm{sen}\,\theta\\
         z(\theta) = h\,\theta\\
       \end{array}
\right.
</math>
</center>
donde <math>R</math> y <math>h</math> son constantes conocidas.
Se pide:
# Indicar de forma razonada cual es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento en este movimiento. Determinar el vector rotación total en términos de los datos expresados en el enunciado.
# Expresar la componente normal de la aceleración del vértice <math>C</math> en un instante cualquiera, en función de los datos del enunciado.
# Para el caso en que <math>v(t)=v_0</math> (cte), y <math>h=R/2</math>, calcular la aceleración del vértice <math>C</math>.  Determinar la ley horaria <math>s=s(t)</math> con que el punto <math>C</math> describe su trayectoria.

==[[Ejercicio_de_cinemática_del_sólido_rígido,_Febrero_2013_(F1_GIA)|Propiedades cinemáticas instantáneas de pieza triangular]]==
[[Archivo:ejer_cin_sr_feb_13_1.gif|right]]Una pieza triangular <math>ABC</math> se mueve respecto de un sistema de referencia <math>OXYZ</math>, comportándose como un sólido rígido. Los vértices <math>C</math> y <math>B</math> de la pieza van recorriendo los ejes <math>OZ</math> y <math>OY</math>, respecti-vamente, mientras que el vértice <math>A</math> se desplaza siempre contenido en el plano <math>OXY</math>. En un determinado instante, cuando los vértices ocupan las posiciones de coordenadas

<center><math>A(a,a,0)\mathrm{;}\quad B(0,2a,0)\mathrm{;}\quad C(0,0,2a)</math></center>

la velocidad instantánea del vértice <math>B</math> es <math>\vec{v}^B=v_0\!\ \vec{\jmath}</math>. Determine, para dicho instante de tiempo:

# Velocidad del vértice <math>A</math> y vector rotación instantánea.
# Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento.
# Derivada instantánea del vector rotación, sabiendo que el vértice <math>B</math> se mueve con velocidad instantánea constante.