Ver el código de «Partícula con movimiento rectilíneo, Noviembre 2012 (G.I.C.)»

== Enunciado==
Una partícula realiza un movimiento unidimensional, de modo que su
velocidad y aceleración cumplen la relación <math>a(t)\,v(t) = 3C^2t^2/2</math>,
siendo <math>C</math> una constante.
#¿Cuales son las dimensiones de la constante <math>C</math>?
#Si la velocidad inicial es <math>v(0)=v_0</math>, ¿cuál es la expresión de la velocidad en cualquier instante de tiempo?
#Supongamos que <math>v_0=0</math> y la posición inicial de la partícula es <math>x(0)=0</math>. ¿Cuál es la posición de la partícula en cualquier instante de tiempo?

==Solución==

=== Dimensiones de la constante C ===

Las dimensiones de <math>C^2 </math> son
<center>
<math>
[a\,v] = [ C^2 t^2] \Longrightarrow
[C^2] = \left[\dfrac{a\,v}{t^2}\right] = \dfrac{L\,T^{-2}\,L\,T^{-1}}{T^2}= L^2\,T^{-5}
</math>
</center>
Por tanto, las dimensiones de <math>C </math> son
<center>
<math>
[C] = L\,T^{-5/2}
</math>
</center>

=== Velocidad en función del tiempo ===
En el movimiento rectilíneo la aceleración es
<center>
<math>
a = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}
</math>
</center>
Utilizando esta definición, la expresión dada se convierte en una ecuación diferencial para <math>v(t) </math> de variables separables
<center>
<math>
v\,\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \dfrac{3C^2}{2}\,t^2
</math>
</center>
Separamos a cada lado las expresiones relacionadas con <math> v</math> y <math> t</math>
<center>
<math>
v\,\mathrm{d}v = \dfrac{3\,C^2}{2}\,t^2\,\mathrm{d}t
</math>
</center>
Integramos teniendo en cuenta las condiciones iniciales
<center>
<math>
\int\limits_{v_0}^{v(t)}v\,\mathrm{d}v = \int\limits_{0}^t\dfrac{3\,C^2}{2}\,t^2\,\mathrm{d}t
</math>
</center>
Integrando, obtenemos la expresión de <math> v(t)</math>
<center>
<math>
v(t) = \sqrt{v_0^2 + C^2\,t^3}
</math>
</center>

=== Posición de la partícula ===
Si <math> v_0=0</math>, la velocidad es
<center>
<math>
v(t) = C\,t^{3/2}
</math>
</center>
Por otro lado la definición de velocidad en el movimiento rectilíneo es
<center>
<math>
v= \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}x = v(t)\,\mathrm{d}t
</math>
</center>
Integrando, y teniendo en cuenta las condiciones iniciales tenemos
<center>
<math>
\int\limits_0^{x(t)}\mathrm{d}v = \int\limits_0^t C\,t^{3/2}\,\mathrm{d}t
</math>
</center>
El resultado es
<center>
<math>
x(t) = \dfrac{2\,C}{5}\,t^{5/2}
</math>
</center>

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