Ver el código de «No Boletín - Rectilíneo con aceleración creciente (Ex.Oct/13)»

==Enunciado==
Una partícula, inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, se mueve con una aceleración creciente en el tiempo según la fórmula:
<center><math>
\vec{a}(t)=3C t^2\,\vec{\jmath}
</math></center>
siendo <math>C\,</math> una constante de valor igual a <math>1\,\mathrm{m/s}^4\,</math>.
¿A qué distancia del origen de coordenadas se hallará la partícula en el instante <math>t=2\,\mathrm{s}\,</math>?

==Solución==
Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:
<center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=3C t^2\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\, (\mathrm{para}\,\, t>0)</math></center>

Conocemos también las condiciones iniciales de posición y velocidad:
<center><math>\vec{r}(0)=\vec{0}\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}(0)=\vec{0}\,\mathrm{m/s}</math></center>

Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula para <math>t>0\,</math> se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico:
<center><math>
\begin{array}{lllllll}\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=3C t^2\,\vec{\jmath} & \longrightarrow & \mathrm{d}\vec{v}=3\,C t^2\,\mathrm{d}t\,\vec{\jmath} & \longrightarrow & \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=3\,C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t^2\,\mathrm{d}t\right)\vec{\jmath} & \longrightarrow & \vec{v}(t)=Ct^3\,\vec{\jmath} \\ \\
\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=Ct^3\,\vec{\jmath} & \longrightarrow & \mathrm{d}\vec{r}=Ct^3\,\mathrm{d}t\,\vec{\jmath} & \longrightarrow & \displaystyle\int_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}=C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t^3\,\mathrm{d}t\right)\vec{\jmath} & \longrightarrow & \vec{r}(t)=\displaystyle\frac{Ct^4}{4}\,\vec{\jmath}\end{array}
</math></center>

En el instante <math>t=2\,\mathrm{s}\,</math>, la posición de la partícula es por tanto:
<center><math>
\vec{r}=\displaystyle\frac{(1\,\,\mathrm{m/s}^4)(16\,\,\mathrm{s}^4)}{4}\,\vec{\jmath}=4\,\vec{\jmath}\,\,\,\mathrm{m}
</math></center>
y su distancia al origen de coordenadas en dicho instante es:
<center><math>
|\vec{r}\,|=|4\,\vec{\jmath}\,|\,\,\mathrm{m}=4\,\,\mathrm{m}
</math></center>

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