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==Enunciado==
Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias

<center><math>\vec{r}(t)=A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\vec{\jmath}+2A\cos^2(\omega t)\vec{k}</math></center>

# ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
# Determine la ley horaria <math>s(t)</math>. Suponga que <math>s(0)=0</math>.
# ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

==Trayectoria==
===Método 1: Ecuaciones implícitas===
La forma más directa de identificar la trayectoria consiste en buscar ecuaciones implícitas

<center><math>f(x,y,z) = 0\,\,;\qquad\qquad g(x,y,z)=0</math></center>

que sean satisfechas por la posición instantánea en todo momento.

Separando en componentes tenemos que

<center><math>x = A\cos^2(\omega t)\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y=A\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>z=2A\cos^2(\omega t)\,</math></center>

De aquí es inmediato que 
<center>
<math>z= 2x\,</math>{{tose}} <math>2x -z = 0\,</math></center>

que es la ecuación de un plano, por lo que, por lo pronto, la trayectoria es plana.

Además, se verifica

<center><math>x + y = A\cos^2(\omega t) + A\,\mathrm{sen}^2(\omega t) = A</math></center>

con lo que la trayectoria está también contenida en el plano

<center><math>x + y = A\,</math></center>

Al estar la trayectoria contenida en la intersección de dos planos, llegamos a la conclusión de que el movimiento es rectilíneo, siendo su trayectoria la recta

<center><math>r:\left\{\begin{matrix} 2x - z = 0 \\ x + y = A \end{matrix}\right.</math></center>

===Método 2: Vector tangente===
Un procedimiento sistemático para determinar si un movimiento es rectilíneo consiste en determinar el vector tangente a la trayectoria y ver si éste es constante.

Hallamos este vector tangente calculando previamente la velocidad

<math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+2A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\cos(\omega t)\vec{\jmath}-4A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\vec{k}=</math>

<math>=2A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)</math>

y dividiendo por su módulo, la celeridad,

<center><math>|\vec{v}| = 2A\omega \cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\sqrt{1+1+4}=2\sqrt{6}A\omega \cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)</math></center>

lo que nos da el vector tangente

<center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{v}=-\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{\imath}+\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{\jmath}-\frac{2}{\sqrt{6}}\vec{k}</math></center>

Este vector es constante y por tanto el movimiento es rectilíneo. La ecuación de la recta la obtenemos a partir de la posición inicial y empleando este vector tangente como vector director

<center><math>\vec{r}(s) = \vec{r}_0 + s \vec{T} = A\vec{\imath}+2A\vec{k}+s\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{\imath}+\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{\jmath}-\frac{2}{\sqrt{6}}\vec{k}\right)</math></center>

o, separando en componentes

<center><math>r:\left\{\begin{array}{l} x = A - s/\sqrt{6} \\ y = s/\sqrt{6} \\ z = 2A -2s/\sqrt{6}\end{array}\right.</math></center>

===Método 3: Relaciones trigonométricas===
La trayectoria de la partícula también puede identificarse con ayuda de las relaciones trigonométricas

<center><math>\cos^2(\omega t) = \frac{1+\cos(2\omega t)}{2}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathrm{sen}^2(\omega t) = \frac{1-\cos(2\omega t)}{2}</math></center>

que permiten expresar la posición instantánea como

<center><math>\vec{r}(t)= \frac{A}{2}(1+\cos(2\omega t))\vec{\imath}+\frac{A}{2}(1-\cos(2\omega t))\vec{\jmath}+A(1+\cos(2\omega t))\vec{k}</math></center>

Este vector se puede desglosar en la forma

<center><math>\vec{r}(t) = \left(\frac{A}{2}\vec{\imath}+\frac{A}{2}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)+\frac{A\cos(2\omega t)}{2}\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}\right) = \vec{G}+f(t)\vec{H}</math></center>

siendo <math>\vec{G}</math> y <math>\vec{H}</math> dos vectores constantes. Dado que la dependencia con el tiempo queda solo en el coeficiente escalar de <math>\vec{H}</math>, es claro que la trayectoria es rectilínea según la recta

<center><math>\vec{r}(\theta) = \vec{G}+\theta\vec{H}</math></center>

==Ley horaria==
Para hallar la ley horaria, primero calculamos la velocidad, que ya vimos anteriormente,

<center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=2A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)</math></center>

y hallamos su módulo, la celeridad,

<center><math>|\vec{v}| = 2\sqrt{6}A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)</math></center>

Esta cantidad es igual a la derivada del parámetro arco respecto al tiempo. 

<center><math>\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=2\sqrt{6}A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t) = \sqrt{6}A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)</math></center>

Calculamos la la ley horaria integrando esta expresión

<center><math>s(t) = \int_0^t \sqrt{6}A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{6}A}{2}\left(1-\cos(2\omega t)\right)</math></center>

En rigor, el módulo de la velocidad, que es una cantidad siempre positiva es solo igual a <math>\dot{s}</math> para <math>0 < 2\omega t < \pi</math>, en la cual el seno es positivo. Podemos extender no obstante el resultado a cualquier valor de <math>t</math> considerando que el valor del parámetro arco <math>s</math> en cada punto de la trayectoria es igual al valor para este primer semiperiodo, y admitir que para el resto del tiempo, lo que hace la partícula es moverse adelante y atrás, aumentando y disminuyendo el valor de <math>s</math>, pudiendo ser <math>\dot{s}</math>, la velocidad del movimiento rectilíneo, una cantidad tanto positiva como negativa.

==Identificación del movimiento==
Hemos determinado que el movimiento que sigue la partícula

* Es rectilíneo
* Sigue la ley horaria

<center><math>s(t) = \frac{\sqrt{6}A}{2}-\frac{\sqrt{6}A}{2}\cos(2\omega T)</math></center>

Podemos por ello concluir que la partícula describe un movimiento armónico simple alrededor del punto <math>s_c = \sqrt{6}A/2</math>, con amplitud <math>\sqrt{6}A/2</math> y frecuencia <math>2\omega</math>.

Vectorialmente las ecuaciones horarias pueden escribirse

<center><math>\vec{r}(t) = \left(\frac{A}{2}\vec{\imath}+\frac{A}{2}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)+\cos(2\omega t)\left(\frac{A}{2}\vec{\imath}-\frac{A}{2}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)</math></center>

que nos permite identificar el centro del movimiento como

<center><math>\vec{r}_c = \frac{A}{2}\vec{\imath}+\frac{A}{2}\vec{\jmath}+A\vec{k}</math></center>

y la amplitud vectorial como

<center><math>\vec{A}=\frac{A}{2}\vec{\imath}-\frac{A}{2}\vec{\jmath}+A\vec{k}</math></center>

entendiendo que el módulo de este vector nos da la amplitud de las oscilaciones y su dirección nos da la dirección del movimiento oscilatorio.



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