Ver el código de «No Boletín - Identificación de lugar geométrico (Ex.Nov/16)»

==Enunciado==
Sea <math>r\,</math> la recta que pasa por el punto <math>P_1\,</math> y es paralela al vector <math>\vec{u}\,</math>, y sea <math>P_2\,</math> un punto que no pertenece a <math>r\,</math>.

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> que satisfacen la ecuación <math>\overrightarrow{P_1P}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\vec{u}\,</math>?

==Solución==
Como aplicación del producto escalar de vectores, se ha estudiado en la teoría que la ecuación del plano perpendicular al vector <math>\vec{N}\,</math> y que pasa por el punto <math>Q\,</math> viene dada por:
<center><math>\overrightarrow{QP}\cdot\vec{N}=0</math></center>
Pues bien, la ecuación que nos propone el enunciado del presente ejercicio se reduce a esta forma mediante una sencilla operación de resta:
<center><math>\overrightarrow{P_1P}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\vec{u}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\left(\overrightarrow{P_1P}-\overrightarrow{P_1P_2}\right)\cdot\vec{u}=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\overrightarrow{P_2P}\cdot\vec{u}=0</math></center>
Por tanto, el lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> que satisfacen dicha ecuación es el plano perpendicular a la recta <math>r\,</math> y que pasa por el punto <math>P_2\,</math> (nótese que <math>r\,</math> es paralela a <math>\vec{u}\,</math>).

==Solución alternativa==
[[Archivo:Plano-vectorial-02.png|right]]

La ecuación vectorial de un plano perpendicular al vector <math>\vec{B}</math> es de la forma general

<center><math>\overrightarrow{AP}\cdot \vec{B}=k</math></center>

siendo A un punto fijo y <math>k</math> una constante. Tomando distintos valores de <math>k</math> obtenemos planos paralelos.

En nuestro caso la ecuación tiene esta forma si tomamos <math>\vec{B}=\vec{u}</math>. Es decir se trata de un plano perpendicular al vector <math>\vec{u}</math> y por tanto a la recta <math>r</math>.

Para hallar un punto de este plano simplemente observamos que la ecuación se cumple para <math>P=P_2</math> ya que trivialmente

<center><math>P=P_2\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{P_1P_2}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\vec{u}\,</math>
</center>
Por tanto, se trata de un plano perpendicular a la recta r y que pasa por el punto <math>P_2</math>.

[[Categoría:Problemas de Vectores Libres (GITI)]]