Ver el código de «No Boletín - Disco en barra ranurada (Ex.Ene/12)»

==Enunciado==
[[Archivo:barra-ranurada.png|right]]

Mediante un par de revolución, la barra ranurada horizontal <math>OB\,</math> (sólido "0") gira en el sentido indicado en la figura con velocidad angular de módulo constante <math>\Omega\,</math> alrededor del eje vertical <math>O_1Z_1\,</math> del triedro fijo <math>O_1X_1Y_1Z_1\,</math>
(sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de radio <math>R</math>, contenido en todo instante en el plano vertical <math>OX_0Z_0</math>, rota en el sentido indicado en la figura con velocidad angular de módulo constante <math>2\,\Omega\,</math>, mientras que su centro <math>C\,</math> se desplaza por la ranura de la barra con celeridad constante <math>4\,\Omega R\,</math> en el sentido positivo del eje <math>OX_0\,</math>. En el instante representado en la figura, y al
que se refieren las siguientes preguntas, el centro <math>C\,</math> del disco se halla a distancia <math>2R\,</math> del extremo <math>O\,</math> de la barra, y se denomina <math>A\,</math> al punto del disco que ocupa la posición más alta.

# Determine la posición del EIR{20}
# Calcule la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{A}_{21}\,</math>
# Calcule la aceleración instantánea <math>\vec{a}^{\, O}_{21}\,</math>

==Datos del problema==
Comenzamos expresando en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math>, asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>, los datos que se deducen del enunciado:
<center><math>
\vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_0</math>{{qquad}};{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\omega}_{20}(t)=-2\,\Omega\,\vec{\jmath}_0</math>{{qquad}};{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=4\,\Omega R\,\vec{\imath}_0</math>{{qquad}};{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OC}=2R\,\vec{\imath}_0</math>{{qquad}};{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{CA}=R\,\vec{k}_0
</math></center>

==Posición del EIR{20} en el instante representado en la figura==
Sabemos que el EIR{20} tiene la dirección de <math>\vec{\omega}_{20}\,</math>. Por tanto, se trata de una recta paralela al eje <math>OY_0\,</math> (perpendicular al plano <math>OX_0Z_0\,</math>). Para calcular un punto <math>I\,</math> que pertenezca al eje EIR{20}, utilizamos la fórmula habitual:
<center><math>
\overrightarrow{CI}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\, C}_{20}}{|\,\vec{\omega}_{20}|^{\, 2}}=\frac{-2\,\Omega\,\vec{\jmath}_0\times 4\,\Omega R\,\vec{\imath}_0}{4\,\Omega^{2}}=2R\,\vec{k}_0
</math></center>

'''NOTA''': Este ejercicio se puso en un examen tipo test, en el cual la respuesta correcta para definir la posición del punto <math>I\,</math> por el que pasa el EIR{20} era: <math>\overrightarrow{AI}=R\,\vec{k}_0\,</math>, que evidentemente es equivalente a <math>\overrightarrow{CI}=2R\,\vec{k}_0\,</math> por ser <math>\overrightarrow{CA}=R\,\vec{k}_0
</math>.

En definitiva, las ecuaciones del EIR{20} en el triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math> son:
<center><math>
\frac{x_0-2R}{0}=\frac{y_0}{1}=\frac{z_0-2R}{0}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \{x_0 = 2R, \,\, z_0 = 2R\}
</math></center>

==Velocidad absoluta del punto A en el instante representado en la figura==
Empezamos calculando la velocidad relativa del punto <math>A\,</math> (<math>\vec{v}^{\, A}_{20}\,</math>) a partir de la velocidad relativa del punto <math>C\,</math> (<math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math>) mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {20}:
<center><math>
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{v}^{\, C}_{20}+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CA}=4\,\Omega R\,\vec{\imath}_0+(-2\,\Omega\,\vec{\jmath}_0)\times R\,\vec{k}_0=2\,\Omega R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
A continuación, calculamos la velocidad de arrastre del punto <math>A\,</math> (<math>\vec{v}^{\, A}_{01}\,</math>) a partir de la velocidad de arrastre del punto <math>O\,</math> (<math>\vec{v}^{\, O}_{01}\,</math>) mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}:
<center><math>
\vec{v}^{\, A}_{01}=\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\Omega\,\vec{k}_0\times (\,\underbrace{2R\,\vec{\imath}_0}_{\overrightarrow{OC}}+\underbrace{R\vec{k}_0}_{\overrightarrow{CA}}\,)=2\,\Omega R\,\vec{\jmath}_0
</math></center>
donde se ha tenido en cuenta que el punto <math>O\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01}, es decir, se trata de un punto fijo en dicho movimiento y, por tanto, <math>\vec{v}^{\, O}_{01}(t)=\vec{0}\,</math> (y también <math>\vec{a}^{\, O}_{01}=\vec{0}\,</math>, tal como utilizaremos después).

Finalmente, la ley de composición de velocidades nos permite determinar la velocidad absoluta del punto <math>A\,</math> (<math>\vec{v}^{\, A}_{21}\,</math>):
<center><math>
\vec{v}^{\, A}_{21}=\vec{v}^{\, A}_{20}+\vec{v}^{\, A}_{01}=2\,\Omega R\,\vec{\imath}_0+2\,\Omega R\,\vec{\jmath}_0=2\,\Omega R\,(\vec{\imath}_0+\vec{\jmath}_0)
</math></center>

==Aceleración absoluta del punto O en el instante representado en la figura==
Hallamos primero la aceleración relativa del punto <math>O\,</math> (<math>\vec{a}^{\, O}_{20}\,</math>) a partir de la aceleración relativa del punto <math>C</math> mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {20}:
<center><math>
\vec{a}^{\, O}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}\times\overrightarrow{CO}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CO})=(\,\underbrace{\vec{\omega}_{20}\cdot\overrightarrow{CO}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,)\,\vec{\omega}_{20}-|\,\vec{\omega}_{20}|^{\, 2}\overrightarrow{CO}=-4\,\Omega^2(-2R\,\vec{\imath}_0)=8\,\Omega^{\, 2}R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
donde se ha tenido en cuenta que:
<center><math>
\vec{a}^{\, C}_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_{0}=\left.\frac{\mathrm{d}(4\,\Omega R\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_{0}=\vec{0}</math>{{qquad}};{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\alpha}_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_{0}=\left.\frac{\mathrm{d}(-2\,\Omega\,\vec{\jmath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_{0}=\vec{0}
</math></center>
Por otra parte, tal como se adelantó antes, la aceleración de arrastre del punto <math>O\,</math> (<math>\vec{a}^{\, O}_{01}\,</math>) es nula:
<center><math>
\vec{a}^{\, O}_{01}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_{1}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_{1}=\vec{0}
</math></center>
Calculamos ahora el término de aceleración de Coriolis del punto <math>O\,</math>:
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, O}_{20}=2\,\Omega\,\vec{k}_0\times 4\,\Omega R\,(\vec{\imath}_0-\vec{k}_0)=8\,\Omega^{\, 2}R\,\vec{\jmath}_0
</math></center>
donde se ha introducido el valor de <math>\vec{v}^{\, O}_{20}\,</math>, que se obtiene de:
<center><math>
\vec{v}^{\, O}_{20}=\vec{v}^{\, C}_{20}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CO}=4\,\Omega R\,\vec{\imath}_0\,+\,(-2\,\Omega\,\vec{\jmath}_0)\times (-2R\,\vec{\imath}_0)=4\,\Omega R\,\vec{\imath}_0-4\,\Omega R\,\vec{k}_0=4\,\Omega R\,(\vec{\imath}_0-\vec{k}_0)
</math></center>

Por último, determinamos la aceleración absoluta del punto <math>O\,</math> (<math>\vec{a}^{\, O}_{21}\,</math>) sumando las aceleraciones relativa, de arrastre y de Coriolis (ley de composición de aceleraciones):
<center><math>
\vec{a}^{\, O}_{21}=\vec{a}^{\, O}_{20}+\vec{a}^{\, O}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, O}_{20}=8\,\Omega^{\, 2}R\,\vec{\imath}_0+8\,\Omega^{\, 2}R\,\vec{\jmath}_0=8\,\Omega^{\, 2}R\,(\vec{\imath}_0+\vec{\jmath}_0)
</math></center>


[[Categoría:Problemas de Movimiento Relativo (GITI)]]