Ver el código de «Mono intentado alcanzar unos plátanos»

= Enunciado =
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Un mono de masa <math>m_0</math> cuelga de una cuerda ideal inextensible y sin masa, que está enrollada en una polea de radio <math>R</math>. En el otro extremo de la cuerda hay un racimo de plátanos que tienen la misma masa <math>m_0</math> del mono. Los plátanos están por encima del mono, como se indica en la figura. Éste los ve y comienza a trepar por la cuerda para intentar alcanzarlos.
#Supongamos que la masa de la polea es despreciable. ¿Consigue  el mono atrapar los platanos antes de que estos alcancen la altura de la polea?  
#Supongamos ahora que la polea es un aro con masa <math>M</math>. En el instante inicial los plátanos están a una distancia <math>L</math> de la altura de la polea y el mono a una distancia <math>2L</math>. El mono sube la cuerda con velocidad <math>v_0</math> respecto a la polea. ¿Que condición debe cumplir <math>M</math> para que el mono pueda alcanzar los plátanos antes de que estos lleguen a la polea?

= Solución =

== Polea sin masa ==
[[Archivo:F1GIC-mono-platanos-poleasinmasa.png|right]]
Consideramos que el mono y el racimo de plátanos forman un sistema de dos partículas. El sistema se puede modelar con la figura de la derecha, con las masas <math>m</math> (el mono) y <math>p</math> (los plátanos), ambos de la misma magnitud <math>m_0</math>. Hay que señalar que el mono sube por la cuerda. Por tanto, tanto <math>\vec{v}_m</math> como <math>\vec{v}_p</math> están dirigidas hacia arriba.
<center>
<math>
\vec{v}_m = -v_m\,\vec{\imath}, \qquad \vec{v}_p = -v_p\,\vec{\imath}.
</math>
</center>
Ponemos el signo negativo en las componentes para que <math>v_m</math> y <math>v_p</math> sean positivos.

El momento angular de este sistema respecto al centro de la polea es
<center>
<math>
\vec{L}_O = \vec{L}_O^m + \vec{L}_O^p.
</math>
</center>
El momento angular del mono es
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{L}_O^m & =  \vec{r}_m\times(m_o\vec{v}_m) = -m_0R v_m\,\vec{k}\\
  & \vec{r}_m = x_m\,\vec{\imath} - R\,\vec{\jmath}\\
  & \vec{v}_m = -v_m\,\vec{\imath}
\end{array}
</math>
</center>
El momento angular del racimo de plátanos es
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{L}_O^p & =  \vec{r}_p\times(m_o\vec{v}_p) = m_0R v_p\,\vec{k}\\
  & \vec{r}_p = x_p\,\vec{\imath} + R\,\vec{\jmath}\\
  & \vec{v}_p = -v_p\,\vec{\imath}
\end{array}
</math>
</center>
Por tanto, el momento angular total es
<center>
<math>
\vec{L} = m_0R\,(v_p - v_m)\,\vec{k}
</math>
</center>
Como se observa en el dibujo, las únicas fuerzas externas que actúan sobre el sistema de dos partículas son sus pesos y la fuerza vincular, <math>\vec{O}</math>, que actúa sobre el centro de la polea para que esta no se caiga.  <center>
<math>
\vec{P}_m = m_0g\,\vec{\imath}, \qquad \vec{P}_p = m_0g\,\vec{\imath}, \qquad \vec{O} = O_x\,\vec{\imath} + O_y\,\vec{\jmath}.
</math>
</center>
Las fuerzas entre el mono y los plátanos y la cuerda no cuentan en la evolución del momento angular total pues son fuerzas internas. La fuerza <math>\vec{O}</math> no crea momento respecto al punto <math>O</math> porque está aplicada en el. Aplicando el T.M.C. en el punto <math>O</math> tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\dfrac{\mathrm{d} \vec{L}_O}{\mathrm{d} t} = & \vec{M}_O = \vec{r}_m\times\vec{P}_m + \vec{r}_p\times\vec{P}_p = \vec{0}\\
& \vec{r}_m\times\vec{P}_m = (x_m\,\vec{\imath} - R\,\vec{\jmath})\times (m_0g\,\vec{\imath}) = -m_0Rg\,\vec{k}\\
& \vec{r}_p\times\vec{P}_p = (x_p\,\vec{\imath} + R\,\vec{\jmath})\times (m_0g\,\vec{\imath}) = m_0Rg\,\vec{k}
\end{array}
</math>
</center>
Es decir, <math>\vec{L}_O</math> es constante durante todo el proceso. Pero en el instante inicial era nulo, pues tanto el mono como los plátanos estaban en reposo. Entonces es nulo en todo instante y por tanto
<center>
<math>
\vec{L}_O = m_0R(v_p - v_m)\,\vec{k}=\vec{0}
\Longrightarrow
v_p = v_m
</math>
</center>
El mono y los plátanos suben con la misma velocidad. Por tanto el mono no alcanza los plátanos antes de que éstos lleguen a la polea.

== Polea con masa ==
[[Archivo:F1GIC-mono-platanos-poleaConmasa.png|right]]
Ahora tenemos que considerar un sistema formado por el mono, los plátanos y el aro. El momento angular total en <math>O</math> es
<center>
<math>
\vec{L}_O = \vec{L}_O^m + \vec{L}_O^p + \vec{L}_O^a.
</math>
</center>
Las expresiones para los momentos del mono y los plátanos son iguales que antes. Para el aro tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{L}_O^a = & I\vec{\omega} = MR^2\omega\,\vec{k}.\\
& I = MR^2.\\
& \vec{\omega} = \omega\,\vec{k}.
\end{array}
</math>
</center>
Aquí, <math>I</math> es el momento de inercia del aro respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro. El vector <math>\vec{\omega}</math> describe la rotación de la polea. Como se ve en el dibujo, El punto <math>B</math> de la cuerda tiene la misma velocidad que los plátanos. Pero el punto <math>B</math> de la polea también tiene la misma velocidad. Entonces tenemos
<center>
<math>
\left.
\begin{array}{ll}
\begin{array}{ll}
\vec{v}_B = & \vec{\omega}\times\overrightarrow{OB} = -\omega R\,\vec{\imath}. \\
& \overrightarrow{OB} = R\,\vec{\jmath}.
\end{array}\\
\vec{v}_B = \vec{v}_p = -v_p\,\vec{\imath}
\end{array}
\right|
\to
\omega = v_p/R.
</math>
</center>
Con esto, el momento angular total respecto al punto <math>O</math> es
<center>
<math>
\vec{L}_O = R\,((m_0+M)v_p - m_0v_m)\,\vec{k}.
</math>
</center>
La figura muestra la fuerza exterior que hay que añadir cuando la polea tiene masa: su peso <math>\vec{P}_a</math>.

Ahora bien, esta nueva fuerza, al igual que la fuerza vincular <math>\vec{O}</math>, se aplica en el punto <math>O</math>, por lo que no contribuye al momento total de fuerzas externas respecto a <math>O</math>. Por tanto, se cumple otra vez
<center>
<math>
\vec{M}_O = \vec{0}
\to
\vec{L}_O = \vec{\mathrm{cte}} = \vec{L}_O(t=0) = \vec{0}.
</math>
</center>
Y, entonces
<center>
<math>
(m_0+M)v_p - m_0v_m = 0 \to
v_p = \dfrac{m_0}{m_0+M}\,v_m
</math>
</center>
El enunciado dice que, en este caso, <math>v_m = v_0</math>. Entonces
<center>
<math>
\vec{v}_m = v_0\,\vec{\imath}, \qquad \vec{v}_p  = \dfrac{m_0}{m_0+M}\,v_0\,\vec{\imath}.
</math>
</center>
Tanto el mono como los plátanos realizan movimientos rectilíneos uniformes. El enunciado nos dice que las condiciones iniciales son
<center>
<math>
\vec{r}_m(0) = 2L\,\vec{\imath} - R\,\vec{\jmath},
\qquad
\vec{r}_p(0) = L\,\vec{\imath} + R\,\vec{\jmath}.
</math>
</center>
Utilizando las expresiones del movimiento rectilíneo uniforme tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{r}_m(t) = (2L-v_0t)\,\vec{\imath} - R\,\vec{\jmath},\\
\vec{r}_p(t) = \left(L-\dfrac{m_0}{m_0+M}\,v_0t\right)\,\vec{\imath} + R\,\vec{\jmath},
\end{array}
</math>
</center>
Cuando los plátanos y el mono están a la misma altura las componentes en <math>X</math> deben ser iguales. Así averiguamos el instante <math>t_0</math> para el que ocurre
<center>
<math>
2L - v_0t_0 = L-\dfrac{m_0}{m_0+M}\,v_0t_0 
\to
t_0=\dfrac{m_0+M}{M} \dfrac{L}{v_0}.
</math>
</center>
Para que el mono alcance los plátanos antes de que estos lleguen a la polea el valor de <math>x_m</math> en el instante <math>t_0</math> debe ser mayor que cero
<center>
<math>
x_m(t_0) = \dfrac{M-m_0}{m_0}\,L \geq 0
\to
M \geq m_0.
</math>
</center>
Es decir, para que el mono alcance los plátanos la masa de la polea debe ser mayor que la del mono. Si son iguales el mono y los plátanos llegan a la altura del centro del aro a la vez.

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