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==Enunciado==
Se tiene una varilla horizontal de masa despreciable y longitud 2''R''. Un extremo de la varilla se encuentra fijo en el origen de coordenadas, O. La varilla gira en torno al eje OZ con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_1=3\Omega\vec{k}</math>. En el otro extremo, ''G'', de la varilla se encuentra ensartado un disco homogéneo de masa m y radio R, también horizontal. El disco gira con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_2=2\Omega\vec{k}</math> alrededor de un eje paralelo a ''OZ'' por ''G''. En un momento dado, la varilla se encuentra alineada con el eje OX. Para ese instante…
# ¿Cuánto vale la velocidad de B, el punto del disco situado en el extremo del disco opuesto a O?
# ¿Cuánto vale la aceleración de B, el punto del disco situado en el extremo del disco opuesto a O?
# ¿Dónde se encuentra el centro instantáneo de rotación del disco?
# ¿Cuánto vale la cantidad de movimiento del disco?
# ¿Cuánto vale el momento cinético del disco respecto al punto O?
# ¿Cuánto vale la energía cinética del disco?
# ¿Cuánto vale la fuerza que se aplica en O para mantener el sistema en movimiento?
# ¿Cuánto vale el momento resultante que se aplica en O para mantener el sistema en movimiento?
<center>[[Archivo:disco-ensartado-varilla.png|400px]]</center>
==Velocidad de B==
Para la velocidad de B aplicamos que podemos hallar en primer lugar la velocidad de G, aplicando que la varilla efectñua un movimiento de rotación alrededor de O 

<center><math>\vec{v}_G = \omega_1 \vec{k}\times\overrightarrow{OG}= 3\Omega \vec{k}\times(2R\vec{\imath}) = 6\Omega R\vec{\jmath}</math></center>

Una vez que tenemos la velocidad de G, la usamos para hallar la velocidad de B

<center><math>\vec{v}_B = \vec{v}_G + \omega_2\vec{k}\times\overrightarrow{GB}= 6\Omega R \vec{\jmath}+(2\Omega)\vec{k}\times(R\vec{\imath})=8\Omega R\vec{\jmath}</math></center>

==Aceleración de B==
De manera similar se calcula la aceleración de B. Primero calculamos la de G, que describe un movimiento circular uniforme alrededor del origen

<center><math>\vec{a}_G = \overbrace{\alpha_1}^{=0}\vec{k}\times\overrightarrow{OG}- \omega_1^2 \overrightarrow{OG}= =-(3\Omega)^2(2R\vec{\imath})=-18\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

y a partir de la de G hallamos la de B

<center><math>\vec{a}_B = \vec{a}_G+\overbrace{\alpha_2}^{=0}\vec{k}\times\overrightarrow{GB}- \omega_2^2 \overrightarrow{GB}= -18\Omega^2\vec{\imath}-(2\Omega)^2(R\vec{\imath})=-22\Omega^2R\vec{\imath}</math></center>

==Centro instantáneo de rotación==
Hallamos la posición del CIR del disco a partir de la velocidad de un punto y la velocidad angular del disco

<center><math>\overrightarrow{GI}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}_G}{\omega_2}= \frac{\vec{k}\times (6\Omega R\vec{\jmath})}{2\Omega}=-3R\vec{\imath}</math></center>

Esta es la posición respecto a G. Respecto al origen de coordenadas es

<center><math>\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GI}=2R\vec{\imath}+(-3R\vec{\imath})=-R\vec{\imath}</math></center>
==Cantidad de movimiento del disco==
La cantidad de movimiento del sólido la hallamos a partir del movimiento del CM

<center><math>\vec{p}=m\vec{v}_G = 6m\Omega R\vec{\jmath}</math></center>

==Momento cinético respecto a O==
Para el momento cinético respecto a O aplicamos el teorema de König

<center><math>\vec{L}_O=m\overrightarrow{OG}\times\vec{v}_G+I\vec{\omega}_2</math></center>

El momento de inercia de un disco respecto a un eje perpendicular a él por su centro es 

<center><math>I=\frac{1}{2}mR^2</math></center>

por lo que el momento cinético o angular vale

<center><math>\vec{L}_O=m(2R\vec{\imath})\times \left(6\Omega R\vec{\jmath}\right) + \frac{1}{2}mR^2 \left(2\Omega\vec{k}\right) = = 13mR^2\Omega\vec{k}</math></center>

Este resultado no es el mismo que si calculamos el momento de inercia respecto a O por el teorema de Steiner y luego aplicamos la ecuación <math>I_O\vec{\omega}</math>. La razón es que el punto O no es un punto fijo del disco.

==Energía cinética==
Para la energía cinética aplicamos su correspondiente teorema de König

<center><math>K = \frac{1}{2}m|\vec{v}_G|^2+\frac{1}{2}I\omega_2^2</math></center>

lo quen os da

<center><math>K = \frac{1}{2}m(6\Omega R)^2+\frac{1}{4}mR^2(2\Omega)^2 = 19mR^2\Omega^2</math></center>

==Fuerza aplicada en O==
La única fuerza extrna es la que mantiene el sistema en rotación. Por el teorema de la cantidad de movimiento

<center><math>\vec{F}=m\vec{a}_G = m(-18\Omega^2 R\vec{\imath})= -18m\Omega^2R\vec{\imath}</math></center>

Esta fuerza es igual a la tensión de la varilla, que actúa sobre el centro del disco, produciendo un movimiento circular uniforme.

==Momento aplicado en O==
Para el momento resultante hay que tener mucho cuidado, ya que O no es un punto fijo del disco. En caso de duda debemos calcular el momento respecto al CM

<center><math>\vec{M}_G=\frac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}mR^2(2\Omega\vec{k})\right)=\vec{0}</math></center>

Esta cantidad se anula porque el momento cinético respecto al CM es constante, por serlo la velocidad angular y el momento de inercia.

Para hallar ahora el momento respcto a O, aplicamos la fórmula para cambiar el punto de referencia

<center><math>\vec{M}_O=\vec{M}_G+\overrightarrow{GO}\times\vec{F}= \vec{0}+\left(-2R\vec{\imath}\right)\times \left(-18m\Omega^2R\vec{\imath}\right)=\vec{0}</math></center>

Obtenemos que respecto a O también se anula, por estar O en la recta soporte de la fuerza aplicada sobre el sólido.