Ver el código de «Estudio de un movimiento armónico simple»

==Enunciado==
Un oscilador armónico con posición de equilibrio <math>x_\mathrm{eq}=0</math> se mueve de tal forma que en <math>t=0.00\,\mathrm{s}</math> la partícula se halla en <math>x_0=0.80\,\mathrm{m}</math>, moviéndose con velocidad <math>v_0=+0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}</math> y aceleración <math>a_0=-0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>. Halle la frecuencia <math>\omega</math> y el periodo del movimiento, su amplitud de oscilación y la fase inicial. Exprese los fasores (amplitudes complejas) de la posición, velocidad y aceleración.

==Solución==
Obtenemos la frecuencia a partir de la ecuación del oscilador armónico

<center><math>a = -\omega^2x\,</math></center>

Esta ecuación se cumple en todo instante. En particular en el instante inicial, por lo que

<center><math>\omega = \sqrt{-\frac{a_0}{x_0}}=\sqrt{\frac{0.20}{0.80}}\mathrm{s}^{-1}= 0.5\,\mathrm{s}^{-1}</math></center>

Una vez que tenemos la frecuencia, tenemos el periodo

<center><math>T = \frac{2\pi}{\omega} = 4\pi\,\mathrm{s}=12.57\,\mathrm{s}</math></center>

A partir de las condiciones iniciales obtenemos el fasor (amplitud compleja) de la posición

<center><math>\hat{x}=x_0-\mathrm{j}\frac{v_0}{\omega}</math></center>

que en este caso es el número complejo

<center><math>\hat{x}=(0.80-\frac{0.60}{0.5}\mathrm{j})\,\mathrm{m}=(0.80-1.20\mathrm{j})\,\mathrm{m}</math></center>

A partir del fasor obtenemos la amplitud como su módulo

<center><math>A = |\hat{x}| = \sqrt{0.80^2+1.20^2}\,\mathrm{m}=1.44\,\mathrm{m}</math></center>

y la constante de fase como su argumento

<center><math>\varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{-1.20}{0.80}\right)=-0.983\,\mathrm{rad}</math></center>

El fasor de la velocidad es igual al de la posición multiplicado por <math>\mathrm{j}\omega</math>

<center><math>\hat{v}=\mathrm{j}\omega\hat{x}=(0.5\,\mathrm{j})(0.80-1.20\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= (0.60+0.40\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

y el de la aceleración igual al de la velocidad multiplicado por <math>\mathrm{j}\omega</math>

<center><math>\hat{a}=\mathrm{j}\omega\hat{v}=(0.5\,\mathrm{j})(0.60+0.40\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}= (-0.20+0.30\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

<center>[[Archivo:fasor-xvt.png|400px]]</center>

A partir de aquí es inmediato obtener la amplitud y la constante de fase de la velocidad y de la aceleración.

<center>[[Archivo:xvt-2.png]]</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo (GIE)]]