Ver el código de «Equilibrio de barra con muelle (Ene. 2021)»

= Enunciado =
[[Archivo:MRGIC-barraPTV-Enunciado.png|right]]

Una barra de longitud <math>2d</math> está articulada en su punto central en el punto fijo <math>O</math>. El 
extremo <math>A</math> se conecta al punto fijo <math>C</math> por un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud 
natural nula. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\imath}</math>, con <math>F_0>0</math>, se aplica en el punto <math>B</math>. 
No se tiene en cuenta la fuerza de la gravedad.
#Usando el Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) (o el de las potencias virtuales, PPV) determina el valor de equilibrio del ángulo <math>\theta</math>.
#Si el ángulo es tal que <math>\,\mathrm{sen}\,{\theta}=3/5</math> y <math>\cos\theta=4/5</math>, determina, usando el Principio de Liberación y el PTV (o el PPV), las componentes de la fuerza de reacción vincular en <math>O</math> (en la base de los ejes de la figura)

= Solución =

== Posición de equilibrio ==

=== Con el Principio de los Trabajos Virtuales ===
Las fuerzas activas que actúan sobre la barra son la fuerza aplicada en <math>B</math> y la fuerza que el muelle ejerce en <math>A</math>. El Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) dice que, para que haya equilibrio, en cualquier desplazamiento virtual debe cumplirse
<center>
<math>
\delta W = \vec{F}\cdot\delta\vec{r}_B + \vec{F}_k\cdot\delta\vec{r}_A = 0.
</math>
</center>
Calculemos cada uno de esos términos. El sistema tiene un grado de libertad: <math>\{\theta\}</math>. Así pues, un desplazamiento virtual arbitrario es <math>\{\delta\theta\}</math>.

Para la fuerza en <math>B</math> tenemos
<center>
<math>
\vec{r}_B = d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
\Longrightarrow
\delta\vec{r}_B = \left(\dfrac{\partial\vec{r}_B}{\partial\theta}\right)\delta\theta
=
(d\cos\theta\,\vec{\imath} - d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\delta\theta.
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\vec{F}\cdot\delta\vec{r}_B = F_0d\cos\theta\delta\theta.
</math>
</center>
La fuerza del muelle sobre el extremo <math>A</math> de la barra viene dada por
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
 \vec{F}_k  & = -k\overrightarrow{CA} =kd\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 - kd(1-\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1 \\
& \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} =
-d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + d(1-\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1. \\
&  \qquad \overrightarrow{OA} = -d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 - d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1.\\
&  \qquad \overrightarrow{OC} = -d\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\vec{r}_A = -d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 - d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
\Longrightarrow
\delta\vec{r}_A = \left(\dfrac{\partial\vec{r}_A}{\partial\theta}\right)\delta\theta
=
(-d\cos\theta\,\vec{\imath} + d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\delta\theta.
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\vec{F}_k\cdot\delta\vec{r}_A = 
-kd^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\delta\theta.
</math>
</center>
Por tanto la condición de equilibrio es, para todo <math>\delta\theta</math>,
<center>
<math>
(F_0d\cos\theta - kd^2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\delta\theta = 0
\Longrightarrow
\tan\theta = \dfrac{F_0}{kd}.
</math>
</center>

=== Con el Principio de las Potencias Virtuales ===
En esta caso necesitamos la reducción cinemática del movimiento de la barra
<center>
<math>
\vec{\omega} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,O} = \vec{0}.
</math>
</center>
El Principio dice que, en cualquier desplazamiento virtual <math>\{\dot{\theta}^*\}</math>, debe cumplirse
<center>
<math>
\vec{F}\cdot\vec{v}^{\,*}_B  + \vec{F}_k\cdot\vec{v}^{\,*}_A=0.
</math>
</center>
Las velocidades que necesitamos son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\,*}_B = \vec{v}_O + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OB} = (d\cos\theta\,\vec{\imath}_1 - d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\,\dot{\theta}^*,\\
\vec{v}^{\,*}_A = \vec{v}_O + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OA} = (-d\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\,\dot{\theta}^*
\end{array}
</math>
</center>
Aplicando el PPV llegamos a la misma condición que en el caso anterior.

=== Con la energía potencial ===
Otra forma de hacerlo es usando la energía potencial. La acción del muelle puede describirse con la energía potencial
<center>
<math>
U_k = \dfrac{1}{2}k\,|\overrightarrow{AC}|^2 = kd^2(1-\cos\theta).
</math>
</center>
La acción de <math>\vec{F}</math> se describe con una fuerza generalizada
<center>
<math>
Q^{NC}_{\theta} = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial \vec{r}_B}{\partial \theta} = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}_B}{\partial \dot{\theta}} = F_0d\cos\theta
</math>
</center>
La condición de equilibrio es
<center>
<math>
\dfrac{\partial U_k}{\partial \theta} = Q^{NC}_{\theta} 
\Longrightarrow
\tan\theta = \dfrac{F_0}{kd}.
</math>
</center>

== Fuerza vincular en O ==
La fuerza vincular en <math>O</math> garantiza que se cumpla el vínculo <math>\vec{v}_O=\vec{0}</math>. Por tanto debe tener dos componentes (es un sistema plano)
<center>
<math>
\vec{O} = O_x\,\vec{\imath}_1 + O_y\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Por tanto, tenemos que aplicar el Principio de Liberación dos veces.

''' Componente <math>O_x</math> '''

[[Archivo:MRGIC-barraPTV-Ox.png|right]]
Liberamos la barra de modo que su centro pueda desplazarse horizontalmente. Ahora hay dos grados de libertad: <math>\{x_O, \theta\}</math> y un desplazamiento virtual genérico tiene la forma <math>\{\delta x_O, \delta\theta\}</math>. Al liberar, tenemos que introducir una fuerza <math>\vec{O}_x = O_x\,\vec{\imath}_1</math> que se comporta como una fuerza activa. El PTV dice que, para cualquier desplazamiento virtual, en equilibrio debe cumplirse
<center>
<math>
\delta W = \vec{F}\cdot\delta\vec{r}_B + \vec{F}_k\cdot\delta\vec{r}_A + \vec{O}_x\cdot\delta\vec{r}_O=0.
</math>
</center>

De todos los desplazamientos virtuales posibles escogemos el que cumple
<center>
<math>
\delta\theta = 0, \qquad \delta x_O = \delta x
\Longrightarrow
\delta\vec{r}_B = \delta\vec{r}_A = \delta\vec{r}_O = \delta x\,\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
Aplicando el PTV llegamos a 
<center>
<math>
(F_0 + kd\,\mathrm{sen}\,\theta + O_x)\delta x=0 \quad (\forall \delta x)
\Longrightarrow
O_x = -kd\,\mathrm{sen}\,\theta - F_0.
</math>
</center>
Usando el valor de <math>\theta</math> dado por el enunciado tenemos finalmente
<center>
<math>
O_x = -\dfrac{3}{5}kd-F_0.
</math>
</center>

''' Componente <math>O_y</math> '''

[[Archivo:MRGIC-barraPTV-Oy.png|right]]
Ahora liberamos la barra de modo que su centro pueda desplazarse verticalmente. Los dos grados de libertad son: <math>\{y_O, \theta\}</math> y un desplazamiento virtual genérico tiene la forma <math>\{\delta y_O, \delta\theta\}</math>. Al liberar, tenemos que introducir una fuerza <math>\vec{O}_y = O_y\,\vec{\jmath}_1</math> que se comporta como una fuerza activa. El PTV dice que, para cualquier desplazamiento virtual, en equilibrio debe cumplirse
<center>
<math>
\delta W = \vec{F}\cdot\delta\vec{r}_B + \vec{F}_k\cdot\delta\vec{r}_A + \vec{O}_y\cdot\delta\vec{r}_O=0.
</math>
</center>

De todos los desplazamientos virtuales posibles escogemos el que cumple
<center>
<math>
\delta\theta = 0, \qquad \delta y_O = \delta y
\Longrightarrow
\delta\vec{r}_B = \delta\vec{r}_A = \delta\vec{r}_O = \delta y\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Aplicando el PTV llegamos a 
<center>
<math>
(-kd\,(1-\cos\theta) + O_y)\delta y=0 \quad (\forall \delta y)
\Longrightarrow
O_y = kd\,(1-\cos\theta).
</math>
</center>
Usando el valor de <math>\theta</math> dado por el enunciado tenemos finalmente
<center>
<math>
O_y = \dfrac{1}{5}kd.
</math>
</center>

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[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]