Ver el código de «Dos superficies esféricas cargadas»

==Enunciado==
Se tiene un sistema formado por dos superficies esféricas cargadas (“1” y “2”), de radios 4''b'' y 2''b'', respectivamente. La superficie “2” se encuentra parcialmente en el interior de la “1”, centrada a una distancia 3b del centro de la “1”, punto que tomamos como origen de coordenadas. La superficie “1” almacena una carga +''Q'' y la “2” una carga &minus;''Q'', ambas distribuidas uniformemente sobre cada superficie

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# Calcule el campo eléctrico en los siguientes puntos del plano OXY:
## El origen de coordenadas <math>O(0,0)</math>
## El centro de la esfera “2” <math>A(3b,0)</math>
## El punto <math>B_1(b^-,0)</math> situado justo fuera de la esfera “2” y el punto <math>B_2(b^+,0)</math> situado justo dentro de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
## El punto <math>C_1(4b^-,0)</math> situado justo dentro de la esfera “1” y el punto <math>C_2(4b^+,0)</math> situado justo fuera de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
## El punto <math>D_1(0,4b^-)</math> situado justo dentro de la esfera “1” y el punto <math>D_2(0,4b^+)</math> situado justo fuera de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
# Calcule el potencial eléctrico en los puntos anteriores, tomando como origen de potencial el infinito.
# Halle el trabajo necesario para llevar una carga puntual <math>q_0</math> desde el punto <math>G(6b,0)</math> al punto <math>H(-6b,0)</math> siguiendo un camino rectilíneo.
# En puntos alejados del sistema, éste se ve como un dipolo eléctrico. ¿Cuál es el momento dipolar de la distribución?

==Campo eléctrico==
En cada punto del espacio, el campo eléctrico se puede calcular como la suma del debido a la esfera de carga positiva más el debido a la de carga negativa.

Asimismo, el campo de cada una de ellas en su interior es nulo y en su exterior es como el de una carga puntual con la carga total de la esfera y sutuada en el centro de ésta.
===En el punto O===
El origen de coordenadas se halla en el interior de la esfera positiva y el exterior de la negativa. Se halla a 3 unidades del centro de esta esfera y en O el vector unitario radial hacia fuera de la esfera es <math>-\vec{\imath}</math>. Por tanto

<center><math>\vec{E}_O=\vec{E}_{O1}+\vec{E}_{O2}=\vec{0}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)}{(3b)^2}(-\vec{\imath})=\frac{Q}{36\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>

===En el punto A===
El punto A se encuentra en la intersección de ambas esferas y, por tanto, el campo debido a cada una es nulo.

<center><math>\vec{E}_A=\vec{E}_{A1}+\vec{E}_{A2}=\vec{0}+\vec{0} = \vec{0}</math></center>

===En el punto B===
====En ''B''<sub>1</sub>====
Este punto se encuentra, como O, dentro de una esfera y fuera de la otra, pero a una distancia 2''b'' del centro de ésta. Por tanto,

<center><math>\vec{E}_{B_1}=\vec{E}_{B_11}+\vec{E}_{B_12}=\vec{0}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)}{(2b)^2}(-\vec{\imath})=\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>

====En ''B''<sub>2</sub>====
Este punto se encuentra, como A, dentro de ambas esferas. Por tanto,

<center><math>\vec{E}_{B_2}=\vec{E}_{B_21}+\vec{E}_{B_22}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}</math></center>

====Discontinuidad del campo====
Como vemos, en la superfice de la esfera, el campo presenta una discontinuidad igual a

<center><math>\vec{E}(B_2) - \vec{E}(B_1) = \vec{0}-\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath} = -\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>

Este salto se puede escribir como

<center><math>\vec{E}(B_2) - \vec{E}(B_1) = \frac{(-Q)/(4\pi(2b)^2)}{\varepsilon_0}\vec{\imath}=\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\vec{\imath}</math></center>

siendo <math>\sigma_s</math> la densidad superficial de carga de la esfera.

===En el punto C===
====En ''C''<sub>1</sub>====
Este punto se encuentra, como A, dentro de ambas esferas. Por tanto,

<center><math>\vec{E}_{C_1}=\vec{E}_{C_11}+\vec{E}_{C_2}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}</math></center>
====En ''C''<sub>2</sub>====
Este punto se encuentra dentro de la esfera negativa, pero fuera de la positiva, a una distancia <math>4b</math> de su centro

<center><math>\vec{E}_{C_2}=\vec{E}_{C_21}+\vec{E}_{C_12}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{(4b)^2}(\vec{\imath})+\vec{0}=\frac{Q}{64\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>

====Discontinuidad del campo====
El campo presenta una discontinuidad 

<center><math>\vec{E}(C_2) - \vec{E}(C_1) = \frac{Q}{64\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}-\vec{0} = \frac{Q}{64\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>

===En el punto D===
====En el punto ''D''<sub>1<sub>====
Este punto está en el interior de la esfera positiva y el exterior de la negativa. Para hallar el campo debido a la esfera de carga negativa usamos la expresión general para el campo de una carga puntual

<center><math>\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q(\vec{r}-\vec{r}_0)}{|\vec{r}-\vec{r}_0|^3}</math></center>

siendo, en este caso

<center><math>\vec{r}=4b\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{r}_0=3b\vec{\imath}</math></center>

<center><math>\vec{r}-\vec{r}_0=-3b\vec{\imath}+4b\vec{\jmath}\qquad\qquad |\vec{r}-\vec{r}_0|=5b</math></center>

lo que nos da

<center><math>\vec{E}_{D_1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)(-3b\vec{\imath}+4b\vec{\jmath})}{(5b)^3}=\frac{Q(3\vec{\imath}-4\vec{\jmath})}{500\pi\varepsilon_0b^2}</math></center>

====En el punto ''D''<sub>2<sub>====
En este punto la contribución de la esfera negativa es la misma que en el anterior, pero ahor además hay un campo no nulo de la esfera de carga positiva

<center><math>\vec{E}_{D_1}=\frac{Q}{64\pi\varepsilon_0b^2}\vec{\jmath}+\frac{Q(3\vec{\imath}-4\vec{\jmath})}{500\pi\varepsilon_0b^2}</math></center>

====Discontinuidad====
La discontinuidad es debida exclusivamente a la esfera positiva

<center><math>\vec{E}(D_2)-\vec{E}(D_1) = \frac{Q}{64\pi\varepsilon_0b^2}\vec{\jmath}</math></center>
==Potencial eléctrico==
De manera similar hallamos el potencial eléctrico. El debido a una efsera es igual al de una carga puntual en su exterior y es constante en el interior. No es preciso distinguir entre puntos a un lado y a otro de la superficie porque el potencial es una función continua.
===En el punto O===
Aplicando el potencial interior para la esfera de carga positiva y el exterior para la negativa resulta

<center><math>V_O=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{4b}+\frac{(-Q)}{3b}\right)=-\frac{Q}{48\pi\varepsilon_0b}</math></center>

===En el punto A===
Aplicamos la expresión para el interior de ambas esferas.

<center><math>V_A=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{4b}+\frac{(-Q)}{2b}\right)=-\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0b}</math></center>

===En el punto B===
Aplicamos, como en A la expresión para el interior de las dos esferas

<center><math>V_B=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{4b}+\frac{(-Q)}{2b}\right)=-\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0b}</math></center>

===En el punto C===
De manera análoga a los dos anteriores

<center><math>V_C=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{4b}+\frac{(-Q)}{2b}\right)=-\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0b}</math></center>

===En el punto D===
En este caso tenemos el interior de la esfera de carga positiva y el exterior de la negativa

<center><math>V_B=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{4b}+\frac{(-Q)}{5b}\right)=\frac{Q}{80\pi\varepsilon_0b}</math></center>

==Trabajo para mover una carga==
El trabajo lo podemos hallar como

<center><math>W_\mathrm{in}=q_0(V_H-V_G)\,</math></center>

El potencial, tanto en H como en B se puede calcular como en el apartado anterior

<center><math>W_\mathrm{in}=\frac{q_0}{4\pi\varepsilon_0}\left(\left(\frac{Q}{6b}+\frac{(-Q)}{9b}\right)-\left(\frac{Q}{6b}+\frac{(-Q)}{3b}\right)\right)=\frac{q_0 Q}{12\pi\varepsilon_0b}</math></center>

==Momento dipolar===
En el exterior de ambas esferas, las dos se ven como cargas puntuales. El momento dipolar es el que corresponde a dos cargas puntuales, cada una en el centro de la esfera correspondiente.

<center><math>\vec{p}=Q\vec{0}+(-Q)(3b\vec{\imath})=-3Qb \vec{\imath}</math></center>