Ver el código de «Dos barras articuladas (GIOI)»

==Enunciado==
Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma longitud ''h'' situadas sobre una superficie horizontal. 
La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante Ω respecto a un sistema de ejes fijos ''OXY''. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular 2Ω.
# En el instante <math>t=0</math> el sistema está completamente extendido a lo largo del eje <math>OX</math>. Para este instante
## Calcule la velocidad del punto de articulación A y del extremo libre B de la segunda barra.  
## Localice la posición del centro instantáneo de rotación del movimiento de la segunda barra respecto a los ejes fijos. 
## Halle la aceleración de A y de B.
# Considere ahora el instante <math>t=\pi/\Omega</math>. Para este instante
## Determine la posición del extremo B así como la velocidad de este punto en ese instante.  
## Determine la posición del CIR de la barra AB en ese momento. 
## Halle la aceleración de A y la de B en ese instante.
# Calcule la posición del CIR de la barra AB para cualquier instante ''t''.

<center>[[Archivo:dos-barras-articuladas-gioi.png|400px]]</center>

==Para el instante ''t''&thinsp;=&thinsp;0==
En el instante inicial

<center><math>\overrightarrow{OA}=h\vec{\imath}\qquad\qquad\overrightarrow{AB}=h\vec{\imath}</math></center>

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-t0.png|600px]]</center>

===Velocidad de A===
El punto A es parte de un sólido que efectúa una rotación alrededor de un eje por O, por lo que

<center><math>\vec{v}_A=\omega_1 \vec{k}\times\overrightarrow{OA} = \Omega \vec{k}\times(h\vec{\imath})=\Omega h \vec{\jmath}</math></center>

===Velocidad de B===
B es parte d eun segundo sólido, al cual también pertenece A. Este sólido gira con una velocidad angular diferente y no alrededor de O. Por ello,

<center><math>\vec{v}_B=\vec{v}_A+\omega_2\vec{k}\times\overrightarrow{AB}=(\Omega h)\vec{\jmath}+(2\Omega)\vec{k}\times(h\vec{\imath})=3\Omega h\vec{\jmath}</math></center>

===Centro instantáneo de rotación===
Una vez que tenemos la velocidad de un punto, A, y la velocidad angular, 2Ω, podemos hallar la posición del CIR respecto a este punto.

<center><math>\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}_A}{\omega}= \frac{\vec{k}\times (\Omega h\vec{\jmath})}{2\Omega}=-\frac{h}{2}\vec{\imath}</math></center>

Esta es la posición respecto al punto A. Respecto al origen de coordenadas será

<center><math>\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}=h\vec{\imath}-\frac{h}{2}\vec{\imath}=\frac{h}{2}\vec{\imath}</math></center>

Es decir, el CIR de la segunda barra se encuentra en el punto medio de la primera. Esto se puede obtener también gráficamente a partir de las velocidades de A y B.

===Aceleración de A===
La aceleración de A es la correspondiente a un movimiento circular uniforme alrededor de O, con aceleración angular nula

<center><math>\vec{a}_A=\alpha_1\vec{k}\times\overrightarrow{OA}-\omega_1^2 \overrightarrow{OA}=-\Omega^2 h\vec{\imath}</math></center>

===Aceleración de B===
De manera similar se calcula la aceleración de B, conocida la aceleración de AB

<center><math>\vec{a}_B=\vec{a}_A+\alpha_2\vec{k}\times\overrightarrow{AB}-\omega_2^2\overrightarrow{AB}=-\Omega^2 h\vec{\imath}-(2\Omega)^2(h\vec{\imath})=-5\Omega^2h\vec{\imath}</math></center>

==En el instante ''t''&thinsp;=&thinsp;&pi;/&Omega;==
En este instante la varilla OA ha completado media vuelta, mientras que la AB ha dado una vuelta entera. Esto quiere decir que, en este instante

<center><math>\overrightarrow{OA}=-h\vec{\imath}\qquad\qquad \overrightarrow{AB}=h\vec{\imath}</math></center>

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-tT-2.png|600px]]</center>


Teniendo esto en cuenta, los nuevos resultados son los siguientes.

===Velocidad de A===
Ahora es la opuesta a la inicial

<center><math>\vec{v}_A=\omega_1 \vec{k}\times\overrightarrow{OA} = \Omega \vec{k}\times(-h\vec{\imath})=-\Omega h \vec{\jmath}</math></center>

===Velocidad de B===
Para el punto B resulta

<center><math>\vec{v}_B=\vec{v}_A+\omega_2\vec{k}\times\overrightarrow{AB}=(-\Omega h)\vec{\jmath}+(2\Omega)\vec{k}\times(h\vec{\imath})=\Omega h\vec{\jmath}</math></center>

===Centro instantáneo de rotación===
Con la velocidad de un punto, A, y la velocidad angular, 2Ω, podemos hallar la nueva posición del CIR respecto a este punto.

<center><math>\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}_A}{\omega}= \frac{\vec{k}\times (-\Omega h\vec{\jmath})}{2\Omega}=\frac{h}{2}\vec{\imath}</math></center>

Esta es la posición respecto al punto A. Respecto al origen de coordenadas será

<center><math>\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}=-h\vec{\imath}+\frac{h}{2}\vec{\imath}=-\frac{h}{2}\vec{\imath}</math></center>

Vemos que sigue estando en el centro de la primera barra. esto también se puede ver gráficamente.

===Aceleración de A===
La aceleración de A es la correspondiente a un movimiento circular uniforme alrededor de O, con aceleración angular nula

<center><math>\vec{a}_A=\alpha_1\vec{k}\times\overrightarrow{OA}-\omega_1^2 \overrightarrow{OA}=\Omega^2 h\vec{\imath}</math></center>

===Aceleración de B===
De manera similar se calcula la aceleración de B, conocida la aceleración de AB

<center><math>\vec{a}_B=\vec{a}_A+\alpha_2\vec{k}\times\overrightarrow{AB}-\omega_2^2\overrightarrow{AB}=\Omega^2 h\vec{\imath}-(2\Omega)^2(h\vec{\imath})=-3\Omega^2h\vec{\imath}</math></center>

==CIR en cualquier instante==
Si consideramos un sistema de vectores de vectores ligado a la primera barra, de manera que <math>\vec{\imath}_2</math> apunta a lo largo de la barra y <math>\vec{\jmath}_2</math> es ortogonal a ella.

En este sistema, la posición de A es, en todo momento

<center><math>\overrightarrow{OA}=h\vec{\imath}_2</math></center>

y su velocidad

<center><math>\vec{v}_A=\Omega\vec{k}\times(h\vec{\imath}_2)=\Omega h \vec{\jmath}_2</math></center>

A partir de aquí obtenemos la posición del CIR respecto a A

<center><math>\overrightarrow{AI} = \frac{\vec{k}\times(\Omega h \vec{\jmath}_2)}{2\Omega}=-\frac{h}{2}\vec{\imath}_2</math></center>

y respecto al origen

<center><math>\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}=h\vec{\imath}_2-\frac{h}{2}\vec{\imath}_2=\frac{h}{2}\vec{\imath}_2</math></center>

Vemos que en todo momento se halla en el punto medio de la varilla OA.

<center>[[Archivo:varillas-articuladas.gif]]</center>