Ver el código de «Disco con barra articulada, Noviembre 2015 (MR G.I.C.)»

== Enunciado ==
[[Imagen:MR_disco_barra_articulada_enunciado.png|right]]
El disco de la figura (sólido "0"), de masa <math>m</math> y radio <math>R</math>, rueda sin 
deslizar sobre el eje <math>OX_1</math>. Una barra (sólido "2"), de masa <math>m</math> y longitud <math>R</math>, se encuentra articulada en el punto <math>A</math> de la circunferencia del disco. El otro extremo, <math>B</math> se conecta a un deslizador que 
se mueve sobre una barra paralela al eje <math>OX_1</math>. En el instante
inicial los puntos <math>G</math> y <math>A</math> se encontraban sobre el eje <math>O_1Y_1</math> (con el punto <math>A</math> por encima del <math>G</math>).
# Calcula la velocidad absoluta del punto <math>A</math>.
#Determina la velocidad de rotación <math>\vec{\omega}_{20}</math>.
#En esta pregunta y las siguientes suponemos que el punto <math>B</math> se mueve con velocidad <math>\vec{v}=v_0\,\vec{\imath}_1</math>. Calcula el valor de <math>\dot{\theta}</math>.
#Calcula el valor de <math>\vec{\alpha}_{21}</math>.
#Determina el valor de <math>\vec{v}^{\,O_1}_{21}</math> en el instante incial.
#Calcula el momento cinético del disco respecto al punto de contacto con el suelo en el instante inicial.

== Solución ==

=== Velocidad absoluta del punto <math>A</math> ===
Se trata de un movimiento plano. En este caso podemos encontrar una expresión que nos da el vector de posición del punto <math>A</math> válida para todo instante de tiempo. Tenemos
<center>
<math>
\overrightarrow{O_1A} = (x+R\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 + R(1+\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
La velocidad absoluta del punto <math>A</math> es
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{O_1A}}{\mathrm{d}t}\right|_1=
(\dot{x} - R\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 + R\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
</math>
</center>
Existe un vínculo interligado entre <math>x</math> y <math>\theta</math>. Para explicitarlo usamos la reducción cinemática del movimiento {01}.
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{k}_1 \\
\\
\left.
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\,G}_{01} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1\\
\\
\vec{v}^{\,C}_{01} = \vec{0}
\end{array}\right|
\vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,C}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CG}
=(\dot{\theta}\,\vec{k}_1)\times(R\,\vec{\jmath}_1) = -R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1
=\dot{x}\,\vec{\imath}_1
\end{array}
</math>
</center>
Por tanto tenemos <math>\dot{x} = -R\dot{\theta}</math> y la velocidad pedida es
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} = -R\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 +R\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
</math>
</center>

=== Velocidad de rotación del punto <math>B</math> ===
La forma mas fácil de calcular este valor es darse cuenta, observando la figura, de que la barra (y por tanto un uje <math>X_2</math> que coincida con ella) forma un ángulo <math>\theta</math> con el eje <math>X_1</math>, pues el triángulo <math>GAB</math> es isósceles. La rotación del movimiento {21} es
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}_1
</math>
</center>
Usando las leyes de composición {21} = {20} + {01}
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}
\Longrightarrow
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = -2\dot\theta\,\vec{k}_1
</math>
</center>

=== Valor de <math>\dot{\theta}</math> ===
El vector absoluto de posición del punto <math>B</math> es
<center>
<math>
\overrightarrow{O_1B} = (x+2R\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 + R\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
La velocidad absoluta del punto <math>B</math> es
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{O_1B}}{\mathrm{d}t}\right|_1=
(\dot{x} - 2R\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1
=
-R\dot{\theta}\,(1+ 2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 = v_0\,\vec{\imath}_1
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\dot{\theta} = -\dfrac{v_0}{R(1+2\,\mathrm{sen}\,\theta)}.
</math>
</center>

=== Aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21}</math> ===
Hemos visto antes que
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}_1 = \dfrac{v_0}{R(1+2\,\mathrm{sen}\,\theta)}\,\vec{k}_1
</math>
</center>
Derivamos respecto del tiempo
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1
=
-\dfrac{2v_0\cos\theta}{R(1+2\,\mathrm{sen}\,\theta)^2}\,\dot{\theta}\,\vec{k}_1
=
\dfrac{2v_0^2\cos\theta}{R^2(1+2\,\mathrm{sen}\,\theta)^3}\,\vec{k}_1
</math>
</center>

=== Velocidad <math>\vec{v}^{\,O_1}_{21}</math> en el instante inicial ===
En el instante inicial tenemos <math>\theta=\pi/2</math>, pues el punto <math>A</math> esta en el eje<math>O_1Y1</math> encima del punto <math>G</math>. Entonces
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\dot{\theta} = -\dfrac{v_0}{3R}\\ \\
\vec{\omega}_{21} = \dfrac{v_0}{3R}\,\vec{k}_1\\ \\
\vec{v}^{\,A}_{21} = \dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{\imath}_1\\ \\
\overrightarrow{AO_1} = -2R\,\vec{\jmath}_1
\end{array}
</math>
</center>
Usando el Teorema de Chasles para el movimiento {21} tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,O_1}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21} \times\overrightarrow{AO_1}
=
\dfrac{4v_0}{3R}\,\vec{\imath}_1
</math>
</center>
Esta velocidad '''no es cero'''. En ese instante hay tres puntos distintos en el punto geométrico <math>O_1</math>, uno por cada sólido que consideramos. Sólo los puntos que pertenecen a los sólidos "0" y  "1" tienen velocidad cero respecto al sólido "1".

=== Momento cinético <math>\vec{L}_C</math> en el instante inicial ===
Al ser un movimiento plano, el eje <math>Z_1</math> es eje principal de inercia en todos los puntos de los sólidos. Por tanto
<center>
<math>
\vec{L}_C = I_C\,\vec{\omega}_{01},
</math>
</center>
donde <math>I_C</math> es el momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular a él que pase por <math>C</math>. Usando el teorema de Steiner o de los ejes paralelos, lo relacionamos con el momento de inercia respecto al centro de masas
<center>
<math>
I_C = I_G + mR^2 = \dfrac{1}{2}mR^2 + mR^2 = \dfrac{3}{2}mR^2.
</math>
</center>
En el instante inicial 
<center>
<math>
\vec{\omega}_{01}(t=0) = \dot{\theta}(\theta=\pi/2)\,\vec{k}_1 = -\dfrac{v_0}{3R}\,\vec{k}_1,
</math>
</center>
y por tanto
<center>
<math>
\vec{L}_C(t=0) = -\dfrac{mv_0R}{2}\,\vec{k}_1
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de cinética del sólido rígido]]
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